Revista Científica Multidisciplinar Nkwa Zayi | Vol. 01 | N. 01 | Janeiro – Junho | pp. 128 - 148 | Ano 2026
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Recurso às tecnologias para o ensino de funções
trigonométricas: estratégia pedagógica para uma construção
significativa da aprendizagem no ensino secundário
Use of technologies for teaching trigonometric functions: a pedagogical strategy for
constructing meaningful learning in secondary education
Recours aux technologies pour l’enseignement des fonctions trigonométriques:
stratégie pédagogique pour une construction significative de l’apprentissage dans
l’enseignement secondaire
Felisberto Azevedo Sieta
1
Instituto Superior Universitário Nimi Ya Lukeni, Angola
azevedosieta@gmail.com
Resumo
Este estudo apresenta os resultados da investigação intitulada “Uso do software GeoGebra
para o ensino de funções trigonométricas: uma estratégia pedagógica para promover a
aprendizagem significativa na 10ª classe no ensino secundário politécnico do Kitona/Soyo”.
O tema foi desenvolvido com o objetivo de minimizar as dificuldades dos alunos na
aprendizagem das funções trigonométricas. O objectivo geral consistiu em elaborar uma
estratégia pedagógica, baseada no Enfoque CEPSol, que contribuísse para a melhoria do
processo de ensino e aprendizagem das funções trigonométricas no II Ciclo do Ensino
Secundário. A pesquisa foi realizada no Instituto Politécnico do Kitona/Soyo (IPK),
envolvendo sete professores de Matemática e 132 alunos da 10ª classe, provenientes dos sete
cursos técnicos oferecidos pela instituição. A investigação adotou uma abordagem
quantitativa, sustentada em métodos teóricos e empíricos. Entre os métodos teóricos
destacam-se o histórico-lógico e a análise-síntese; entre os empíricos, o inquérito por
questionário e o teste pedagógico. Recorreu-se ainda à pesquisa bibliográfica para aprofundar
os fundamentos didático-metodológicos do ensino das funções trigonométricas. O tratamento
dos dados foi realizado por meio de procedimentos estatísticos, utilizando tabelas de
distribuição de frequências, gráficos e testes de hipóteses, com apoio do software SPSS. Entre
os principais resultados destacam-se a definição de princípios para a aplicação eficaz do
Enfoque CEPSol, a identificação de questões estratégicas relacionadas à metodologia de ensino
e a proposta de uma estratégia pedagógica apoiada no GeoGebra. A avaliação dos alunos
apresentou média superior a 7,5 (numa escala de 1 a 10), indicando elevado nível de satisfação
e evidenciando a contribuição da estratégia para a melhoria da aprendizagem.
Palavras-chave: Aprendizagem; Trigonometria; Tecnologias.
1
Licenciado em Ensino de Matemática no ISCED-Cabinda, Mestre em Ensino de Matemática. Docente afecto ao
Departamento de Gestão Financeira e Contabilidade.
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Abstract
This study presents the results of the research entitled “Use of GeoGebra software for teaching
trigonometric functions: a pedagogical strategy to promote meaningful learning in the 10th
grade in Polytechnic Secondary Education at Kitona/Soyo.” The study aims to reduce the
difficulties students face in learning trigonometric functions. The general objective is to
develop a pedagogical strategy based on the CEPSol approach in order to improve the teaching
and learning process of trigonometric functions in the second cycle of secondary education.The
research was conducted at the Kitona/Soyo Polytechnic Institute (IPK) with the participation
of seven mathematics teachers and 132 tenth-grade students from the seven technical
programs offered by the institution. The study adopts a quantitative approach supported by
theoretical and empirical methods. The theoretical methods include the historical-logical
method and analysis-synthesis, while the empirical methods include a questionnaire survey
and a pedagogical test. A bibliographic review was also carried out to deepen the didactic and
methodological foundations of teaching trigonometric functions. Data processing was
performed using statistical procedures, including frequency distribution tables, graphs, and
hypothesis testing, with the support of SPSS software. The results show that students obtained
an average evaluation score above 7.5 (on a scale from 1 to 10), indicating a high level of
satisfaction and demonstrating the effectiveness of the proposed strategy in improving
learning.
Keywords: Learning; Trigonometry; Technologies.
Résumé
Cette étude présente les résultats de la recherche intitulée « Utilisation du logiciel GeoGebra
pour l’enseignement des fonctions trigonométriques : une stratégie pédagogique pour
promouvoir un apprentissage significatif en 10ᵉ classe dans l’enseignement secondaire
polytechnique de Kitona/Soyo ». Elle vise à réduire les difficultés rencontrées par les élèves
dans l’apprentissage des fonctions trigonométriques. L’objectif général consiste à élaborer une
stratégie pédagogique fondée sur l’approche CEPSol, afin d’améliorer le processus
d’enseignement et d’apprentissage des fonctions trigonométriques dans le deuxième cycle de
l’enseignement secondaire.La recherche a été menée à l’Institut Polytechnique de Kitona/Soyo
(IPK), avec la participation de sept enseignants de mathématiques et de 132 élèves de la 10ᵉ
classe, issus des sept filières techniques offertes par l’établissement. L’étude adopte une
approche quantitative, soutenue par des méthodes théoriques et empiriques. Parmi les
méthodes théoriques figurent la méthode historico-logique et l’analyse-synthèse ; parmi les
méthodes empiriques, l’enquête par questionnaire et le test pédagogique. Une recherche
bibliographique a également été réalisée pour approfondir les fondements didactiques et
méthodologiques de l’enseignement des fonctions trigonométriques.Le traitement des
données a été effectué à l’aide de procédures statistiques, incluant des tableaux de distribution
de fréquences, des graphiques et des tests d’hypothèses, avec l’appui du logiciel SPSS. Les
résultats montrent une moyenne d’évaluation des élèves supérieure à 7,5 (sur une échelle de 1
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à 10), indiquant un niveau élevé de satisfaction et l’efficacité de la stratégie proposée pour
améliorer l’apprentissage.
Mots-clés: Apprentissage; Trigonométrie; Technologies.
Introdução
A Matemática desempenha um papel fundamental na formação científica e intelectual
dos estudantes, sendo a trigonometria um dos seus ramos mais relevantes devido às
suas diversas aplicações em áreas como a Física, a Engenharia, a Astronomia e a
Tecnologia. Entretanto, apesar da sua importância, o ensino das funções
trigonométricas no ensino secundário ainda é frequentemente marcado por
abordagens tradicionais centradas na memorização de fórmulas, regras e
procedimentos algébricos, muitas vezes apresentados de forma descontextualizada.
Essa forma de ensino tende a dificultar a compreensão conceitual dos alunos, levando-
os a questionar a utilidade prática desses conteúdos em sua vida académica e cotidiana.
Diante dessa realidade, torna-se necessário repensar as estratégias pedagógicas
utilizadas no ensino da trigonometria, buscando promover uma aprendizagem mais
significativa. De acordo com a teoria da aprendizagem significativa proposta por
Ausubel (2003), o processo de aprendizagem ocorre de forma mais eficaz quando os
novos conhecimentos se relacionam de maneira substantiva e não arbitrária com os
conhecimentos prévios dos estudantes. Para que isso aconteça, dois fatores são
essenciais: a predisposição do aluno para aprender e a apresentação dos conteúdos de
forma contextualizada, permitindo que os novos conceitos estabeleçam relações com
experiências já vivenciadas.
Nesse contexto, a resolução de problemas tem sido apontada como uma metodologia
relevante para o ensino da Matemática. Segundo Van de Walle (2009), a aprendizagem
matemática pode ser compreendida como resultado do próprio processo de resolução
de problemas, uma vez que os alunos desenvolvem estratégias, refletem sobre
procedimentos e constroem conceitos ao buscar soluções para situações desafiadoras.
Diferentemente do ensino tradicional, no qual os conceitos são apresentados
previamente pelo professor para posterior aplicação em exercícios, essa abordagem
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coloca o aluno no centro do processo de aprendizagem, estimulando o pensamento
crítico, a autonomia e a capacidade de interpretação.
Corroborando essa perspectiva, Meneghelli e Possamai (2021) afirmam que a
compreensão conceitual deve constituir o principal objectivo das aulas de Matemática,
sendo que a aprendizagem se torna mais significativa quando os alunos participam
ativamente da construção do conhecimento, em vez de apenas receberem informações
prontas apresentadas pelo professor ou pelo livro didático. Dessa forma, o ensino por
meio da resolução de problemas apresenta-se como uma estratégia promissora para
favorecer a construção reflexiva e significativa do conhecimento matemático.
Entretanto, para que essa metodologia seja efectiva, é necessário que o professor
realize um planejamento cuidadoso das atividades e selecione tarefas adequadas aos
objetivos de aprendizagem. Conforme destacam Santos e Cury (2011), os problemas
propostos devem ser apropriados e eficazes para promover a compreensão dos
conceitos matemáticos, possibilitando que os alunos explorem ideias, estabeleçam
relações e desenvolvam o raciocínio matemático.
Além das abordagens metodológicas, o uso das tecnologias digitais tem sido cada vez
mais reconhecido como um importante recurso didático no ensino da Matemática.
Segundo Oliveira (2009), as tecnologias podem favorecer novas formas de pensar e
fazer matemática, especialmente quando utilizadas para promover processos de
visualização, experimentação e investigação. No caso específico das funções
trigonométricas, recursos tecnológicos como softwares de geometria dinâmica,
aplicativos e simuladores permitem representar graficamente os fenómenos
trigonométricos, facilitando a compreensão de suas propriedades, relações e
comportamentos.
Nesse sentido, o uso das tecnologias no ensino das funções trigonométricas configura-
se como uma estratégia pedagógica capaz de contribuir para uma aprendizagem mais
significativa no ensino secundário. Ao integrar metodologias ativas, como a resolução
de problemas, com ferramentas tecnológicas que favorecem a visualização e a
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exploração de conceitos matemáticos, torna-se possível promover um ambiente de
aprendizagem mais dinâmico, interativo e centrado no estudante.
Diante desse contexto, o presente estudo tem como tema “Recurso às Tecnologias
para o Ensino de Funções Trigonométricas: Estratégia Pedagógica para
uma Construção Significativa da Aprendizagem no Ensino Secundário”,
tendo como objetivo analisar de que forma a utilização de tecnologias digitais pode
contribuir para o ensino e aprendizagem das funções trigonométricas, favorecendo a
construção de conhecimentos matemáticos de forma significativa, crítica e
contextualizada.
Enquadramento Teórico
Dificuldades dos Alunos na Aprendizagem das Funções Trigonométricas
A disciplina de Matemática nas escolas de Soyo, desde o Ensino Primário até o Ensino
Secundário, é tida como uma das mais difíceis para os alunos. Essa dificuldade tem
refletido nos resultados finais das avaliações, os quais evidenciam notas muito
tangentes à Matemática, mostrando um nível baixo em relação ao desempenho dos
alunos na Matemática. Essa realidade é também constatada em muitos países pelo
mundo, tal é o caso das constatações de Silveira e Junior (2015).
O insucesso constante, dos alunos, na disciplina de Matemática faz refletir sobre o
processo de ensino e aprendizagem de Matemática no Soyo particularmente e no país
em geral. As minhas experiências enquanto professor com passagem no I Ciclo do
Ensino Secundário e agora no II Ciclo do Ensino Secundário, permitiram-me perceber
que alguns conteúdos matemáticos são considerados pelos alunos como muito difíceis;
um destes são os conteúdos da trigonometria, em especial as funções trigonométricas.
O seu ensino está muito limitado a aplicações de fórmulas na resolução de problemas
envolvendo as razões trigonométricas no triângulo retângulo, como por exemplo nos
cálculos para determinação da altura de um prédio através de sua sombra. Ainda que
tais problemas constem nos livros didácticos, são insuficientes para motivar os alunos
no estudo da trigonometria e consequentemente no estudo das funções
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trigonométricas, pois ao considerar as observações realizadas como professor em sala
de aula e as conversas com colegas, notamos a desmotivação e dificuldade dos alunos
neste assunto. Um dos factores determinantes para este quadro tem a ver com a falta
de relação entre o conteúdo ensinado e os problemas do cotidiano.
Aprimoramento dos Conceitos Matemáticos: As funções Trigonométricas
Ao pensarmos no estudo de funções trigonométricas, perguntas como as expostas a
seguir vêm à tona: “como ensinar? O que privilegiar? Para que ensinar as funções seno,
cosseno e tangente? Quais características das funções seno, cosseno e tangente
devemos considerar no estudo?”
A falta de clareza com relação à importância que a Matemática desempenha no corpo
de conhecimentos sistematizados e na realidade objectiva dos alunos tem sido, a todo
o custo, um dos principais responsáveis pelas dificuldades crónicas de que padece o
seu ensino e da própria imagem que se tem (Machado, 2001). Os professores de
Matemática não têm a mínima dúvida de que a matéria que ensinam perpassa outras
ciências. Situações como estas fazem com que, às vezes, os alunos não se mostram
impressionados, em especial ao descobrirem que a vasta maioria de colegas consegue
passar perfeitamente sem nunca ter analisado ou conhecido, por exemplo, o
significado do “seno” ou da “função seno”, “cosseno” ou da “função tangente”. Apenas
necessitam de se aperceber da pesada ênfase atribuída às demonstrações de relações,
cálculo das razões trigonométricas no triângulo rectângulo e da solução de equações, e
como consequência, os alunos tudo fazem para evitar os cursos onde a Matemática
esteja presente. Hoje, muito menos alunos enveredam pelos cursos de Matemática ou
Engenharias.
De acordo com (Puindi et al., 2020; Kurnik, 2008; Pedroso et al., 2000), os conceitos
são uma categoria especial do ensino da Matemática, por constituírem a forma
fundamental com que se opera o pensamento matemático que reflecte as
características importantes dos objectos estudados. Assim, a análise, síntese, abstração
e generalização são alguns procedimentos do processo gradual da formulação de um
conceito matemático. Isto significa que qualquer conceito, após uma análise cuidadosa,
se desenvolve através da abstração das características dos objectos que existem na
natureza e da generalização.
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Ao ensinar um conceito matemático, o professor tem a tarefa de conduzir os alunos à
observação e análise das partes que formam o seu conteúdo e sua extensão. Por isso,
recomenda-se que seja um conteúdo mínimo, conciso, natural e aplicável, para
acautelar, facilitando por um lado o processo de: (i) transição para o nível em que o
procedimento de abstração começa, uma vez que a transferência do concreto para o
abstrato é bastante difícil para alguns alunos; e (ii) formulação do conceito como parte
da consciência humana”. Essa formulação é inevitável de se expressar por palavras ou
usar símbolos, e, o cuidado na linguagem é fundamental, pois, pode haver imprecisão
(Kurnik, 2008). Por outro, na hora de se trabalhar o conceito matemático, é
fundamental a visualização do pensamento. Daí a necessidade de se recorrer às
tecnologias educativas com ambientes dinâmicos.
A Tecnologia como Possibilidade de Inovação na Prática Pedagógica
Diante da evolução do uso de tecnologias em nossas vidas e também relacionadas à
educação, torna-se fundamental que nós, professores, possamos introduzir tal uso no
cotidiano escolar com o intuito de tornar o ensino mais próximo aos alunos e fazer com
que eles façam parte do processo de produção do conhecimento.
Actualmente, as tecnologias têm sido consideradas como recursos didácticos
importantes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, por serem recursos
integradores de estratégias pedagógicas inovadoras. O uso das tecnologias não só
contribui com a transformação da prática docente, como também com os processos de
ensino da Matemática, pois possibilita ao aluno movimentar as imagens com
dinamismo e interatividade, desenvolvendo a perspicácia visual, contrário ao que
acontece com o cálculo mecânico e da simples manipulação simbólica, uma vez que por
meio de instrumentos computacionais diversos, esses cálculos podem ser realizados de
modo mais rápido (Oliveira, 2009; Borba & Penteado, 1999; Borba, Malheiros e
Zulatto, 2008; Frota & Borges, 2004).
Existem vários factores a apresentar como justificativos para a utilização de tecnologias
na sala de aulas. A actual preocupação não é mais o porquê utilizar, uma vez que há a
necessidade de utilização dessas tecnologias, mas sim, quando e como utilizar esses
recursos tecnológicos nos processos de ensino.
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Quando utilizar? Se o objectivo é, por exemplo, visualizar o conceito, tornando o
pensamento do aluno uma parte explícita do discurso da sala de aula de uma maneira
natural e gerenciável, o quadro torna-se um recurso impotente para tal propósito, pois,
os processos visuais feitos através do quadro são estáticos. Assim, um dos recursos
modernos que ajuda potenciar esse processo, o de visualização dos conceitos, tornando
o pensamento do aluno visível, chama-se Computador, através do uso de softwares
dinâmicos como GeoGebra. Sim, quando os professores de matemática da escola
angolana souberem quais são os potenciais do GeoGebra e como este software pode
melhorar significativamente o nível de motivação dos seus alunos em aprender a
Matemática, muitos professores se esforçarão para se tornarem proficientes (Puindi et
al., 2020; Neide & Quartieri, 2016).
Como utilizar? Sendo professores, não podemos nos privar das informações
tecnológicas em constante transformação, temos que acompanhar a evolução das
tecnologias e buscando novos conhecimentos que engrandeçam nosso trabalho e que
busquem aprimorar nossas aulas, com o objectivo de ajudar no ensino e aprendizagem
dos nossos alunos. Nesse sentido, é importante que busquemos aprender sobre as
tecnologias, em particular as digitais, que possam nos
auxiliar em sala de aula, a fim de tornar nossas aulas mais atrativas e mais acessíveis
aos
alunos, fazendo com que os conteúdos se tornem algo que faça sentido para eles, não
simplesmente símbolos e teorias vazias de significado prático.
2.4. O Enfoque CEPSol
O Enfoque CEPSol (iniciais de Computational Environments and Problem Solving) se
fundamenta na visão de um ensino contextualizado. Ou seja, sendo a Matemática um
ramo de conhecimento que, no sentido amplo, engloba infinitos componentes que
fazem dela uma das ciências mais reais e completas que contribuem para o
desenvolvimento do intelecto humano, e que obriga ao professor enfrentar o Processo
de Ensino e Aprendizagem da Matemática de forma que implique a participação activa
dos alunos com o espírito de investigação e de descobertas, dando o seu significado
segundo o contexto do aluno e da respectiva sociedade, para tornar o seu ensino mais
atraente para alcançar o pleno desenvolvimento, em resposta, o Enfoque CEPSol
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combina a perspectiva de resolução de problemas, na visão de George Polya (1945) e
Schroeder & Lester (1989), e o uso de ambientes de softwares dinâmicos como
GeoGebra para o ensino-aprendizagem dos conceitos matemáticos.
Nas diferentes concepções sobre o termo resolução de problemas, das quais se
consideram três formas de aborda-la: ensinar sobre a resolução de problemas, ensinar
para resolução de problemas e ensinar através da resolução de problemas, o Enfoque
CEPSol se move para concepção de Ensinar os conceitos matemáticos Através da
Resolução de Problemas. Isto é, estabelecer um problema cuja resolução produz um
novo conhecimento matemático. Não se trata de problematizar o objecto de ensino,
nem de estabelecer problemas complexos que requerem novos conhecimentos
matemáticos. Trata-se de resolver um problema matemático relacionado com o objecto
em estudo sem se confundir com ele, mas que vai conformando de imediato para nova
aprendizagem; que deve produzir um novo conhecimento.
Para os processos de visualização do conceito, tornando o pensamento do aluno uma
parte explícita do discurso da sala de aula de uma maneira natural e gerenciável, o
Enfoque CEPSol recomenda o uso das tecnologias de softwares dinâmicos como
GeoGebra.
Princípios do Enfoque CEPSol e Indicações Metodológicas para o
Professor
Princípios do Enfoque CEPSol
Planificação
É importante planificar o discurso provável da aula –
perguntas e possíveis respostas aos comentários previstos
dos alunos. Os objectivos da aula devem ser específicos,
mensuráveis e alcançáveis. Conhecer o nível dos alunos e
os seus conhecimentos prévios. Organizar os recursos, os
métodos e estratégias de ensino e aprendizagem e prever
como é que a eficácia da aula será avaliada.
Actividade/Improvisação
Promover actividades de aprendizagem que implicam a
participação activa, significativa e construtiva dos alunos.
Os alunos aprendem muito mais quando eles são
participantes activos em vez de recipientes passivos da
informação. O nível de retenção aumenta gradualmente à
medida que a audição é combinada com a visão, prática,
discussão e apresentação de relatórios/trabalhos. A
actividade deve ser a ponte entre a prática e o conceito a
aprender. A improvisação também pode ser usada quando
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for necessário usar materiais do ambiente dos alunos de
forma a provocar o seu interesse e curiosidade.
Aluno
A mudança pedagógica é defendida para que o principal
foco das aulas seja o aluno em detrimento do professor. Os
objectivos da aula devem ser adaptados ao trabalho
académico do aluno e a qualidade da aprendizagem
dele/dela.
Saber Fazer
Quanto mais o professor se ajusta aos novos eventos na
aula é um factor que determina o quanto ele está
preparado para instruir os seus alunos. Assim, o professor
deve: (i) usar estratégias de ensino que encorajam o aluno
desenvolver a criatividade e o pensamento crítico para
resolução de problemas e o seu engajamento activo na
aprendizagem; (ii) apresentar os conceitos chaves através
de experiências que tornam a matéria significativa.
Verificação
Estabeleça estratégias apropriadas para ter o feedback
do progresso dos alunos, e usar a informação para tomar
decisões instrutivas para o melhoramento.
Melhoramento
Considerar os comentários dos alunos e a sua própria
avaliação da aula para ministrar as aulas porteriores. Isto
ajuda a aumentar a performance e melhora a
aprendizagem dos alunos.
Quadro 1:Questões estratégicas da metodologia de ensino e do “fazer matemática”.
Desenvolvimento dos Tópicos
Indicações Metodológicas
1. Estudo das funções
trigonométricas
1.1. Função seno:
▪ Esboço do gráfico.
▪ Estudo do domínio,
contradomínio, zeros,
extremos relativos,
monotonia,
periodicidade e paridade.
1.2. Função cosseno:
▪ Esboço do gráfico.
▪ Estudo do domínio,
contradomínio, zeros,
As funções trigonométricas devem ser
entendidas como extensões das razões
trigonométricas através de um problema
contextualizado, possibilitando aos alunos um
momento de construção de gráficos, investigando
que, quando escritas da forma
,
e
, habitualmente a
variável corresponde à medida de arco do círculo
tomado em radianos, desta forma, apresentando o
comportamento cíclico das funções
trigonométricas.
Para as três principais funções trigonométricas
a introduzir, devem ser dados exemplos a partir de
questões concretas que relacionam variáveis da
vida corrente, da Geometria, da Física ou de outras
áreas científicas, para despertar o interesse dos
alunos e fundamentar a relevância do tópico. Ao
contextualizar os tópicos, o professor deve explicar
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extremos relativos,
monotonia,
periodicidade e paridade.
1.3. Função tangente:
▪ Esboço do gráfico.
▪ Estudo do domínio,
contradomínio, zeros,
extremos relativos,
monotonia,
periodicidade e paridade.
aos alunos como as funções trigonométricas são
usadas em várias áreas da vida. Isso pode ser feito
através de exemplos que mostrem a aplicação
prática das funções trigonométricas.
Particular importância deverá ser dada a
situações de modelação matemática e a exemplos
ligados com o cotidiano do aluno. Os alunos devem
reconhecer que o mesmo tipo de função
trigonométrica pode constituir um modelo de
diferentes tipos de situações problemáticas. Os
processos de visualização gráfica de diferentes
funções trigonométricas deve ser feita através do
GeoGebra.
Para a afixação dos conceitos, os alunos devem
explorar exercícios que envolvem: (i) a
determinação do valor numérico da função, (ii) a
construção de gráficos de funções, (iii) a análise de
um gráfico e identificar da lei de formação que
descreve a função, (iv) resolução de problemas que
retratam situações concretas ilustrando
graficamente.
O professor deve promover actividades que
permitem a participação activa do aluno na busca
de solução por meio do trabalho colaborativo e
interativo, incentivando-os a fazerem perguntas, a
participarem das discussões e compartilharem
suas soluções para os problemas propostos.
Construção significativa do Conceito Função seno com base o Enfoque
CEPSol.
Neste item do nosso estudo, apresentamos aulas modelo ministradas nas escolas do II
Ciclo do Ensino Secundário do Soyo, Trata-se de uma sequência de instruções
didáctico-metodológicas baseada no Enfoque CEPSol, dado que o enfoque orienta
ensinar os conceitos matemáticos através da resolução de problemas integrando os
ambientes tecnológicos dinâmicos, GeoGebra, como recurso didáctico. Para o efeito
desenvolvemos as ideias básicas fundamentais que caracterizam a aula de função seno
servindo assim de amostra para os demais conceitos das funções trigonométricas em
estudo.
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Aula n.º 1
Tema: Introdução da Função Seno
Duração: No âmbito da planificação, recomenda-se que esta aula seja dada em dois
tempos. No primeiro tempo introduz-se o conceito de função seno; o segundo tempo
fica reservado para o estudo do gráfico e determinação das características e
propriedades da função seno.
Classe: 10ª Politécnica
Razão Lógica da aprendizagem. Tornar relevante as experiências de vida real dos
futuros engenheiros e mantê-los interessados em aprender novos conceitos. O
conhecimento das funções trigonométricas ajudará os futuros engenheiros a
prepararem-se para as carreiras de engenharia como paisagismo, topografia,
astronomia, arquitetura, etc.
Conhecimentos
e capacidades
prévias:
Do professor: Literacia Tecnológica. Recomenda-se que o professor de
matemática que trabalhar com essa proposta tenha o mínimo de literacia
tecnológica para lidar com o Enfoque CEPSol.
Do aluno: o professor deve consolidar previamente os conhecimentos que
são a base para a aprendizagem das funções trigonométricas: o conceito de
arco no círculo trigonométrico, a definição de seno, cosseno e tangente de
um arco no círculo trigonométrico; o conceito de função real de variável real
[ ] e a determinação do valor de uma função.
Motivação e Orientação ao Objectivo. De acordo com os fundamentos do
enfoque, sugere-se que o professor tome um problema matemático prático e
contextualizado, de modo que o raciocínio lógico e dedutivo seja desenvolvido no
aluno, dando significado ao conteúdo a ser abordado. Ademais, a resolução desse
problema deve produzir um novo conhecimento matemático. Nesse contexto, pode-se
partir do seguinte problema de Motivação:
▪ No ponto , da figura abaixo, está o Victor observando o Sol a uma
distância igual ao comprimento de
, expresso em km. O ângulo
sob o qual o Victor vê o Sol é desconhecido, no entanto, o Victor
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Observação 2: Para se obter a expressão genérica da função seno, de acordo com (1), os alunos
devem ser orientados a assumir
, então, a expressão (1) se reduz para,
pretende saber o diâmetro do Sol.
é a bissectriz do ângulo
.
Ver a figura de análise abaixo.
Observação 1: O texto do problema deve ser partilhado com os alunos na forma de
enunciado em papel, e formar grupos de discussão para resolução do problema.
Mediante perguntas de impulso, os alunos devem compreender muito bem o texto do
problema e serem capazes de identificar: (i) o triângulo , (ii) os catetos e a
hipotenusa em relação ao ângulo . O professor também pode orientar os alunos a
extrair o triângulo ATO como figura auxiliar para a análise que se impõe.
Finalmente, os alunos devem ser capazes de identificar e descrever os dados do
problema, isto é:
Cateto oposto ao ângulo x:
Cateto adjacente ao ângulo x:
Hipotenusa do triângulo :
Como o Victor pretende saber o diâmetro do Sol, a razão trigonométrica em causa é o
seno. Ou seja, pela definição,
Motivação e orientação ao objectivo
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Que nome damos a expressão (2)?
Nessa fase já estarão criadas as condições para o professor orientar o objectivo da sua
aula e formalizar a definição da função seno. Haja vista que os alunos já tenham
consolidado o conceito de função real de variável real, e conferem o significado da
expressão , levando-os à percepção fácil de que a expressão (2) representa
uma função, a denominar função seno.
Incorporando a tecnologia. É fundamental informar os alunos sobre o recurso
tecnológico a utilizar para os processos de visualização.
Recorrendo ao círculo unitário projectado com GeoGebra, ver Figura 1, o professor
impulsiona os alunos à percepção da variação dos valores de seno na medida em que
varia a amplitude do angulo , podendo para o efeito os alunos fazerem o registo de
valores numa tabela, evidenciando assim a correspondência de valores entre e .
Ou seja, o ponto sobre o círculo unitário é movimentado no sentido anti-horário, e os
alunos registam todos os valores correspondentes para cada variação do arco no
círculo, elaborando a Tabela 1.
Formalização do novo conhecimento
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Figura 1: Obtenção dos valores da função conforme a variação da amplitude do ângulo
α.
Como , é o mesmo que depender de – uma vez que surge a partir dos
valores atribuídos a , a ideia é consolidar o conceito de função no sentido de
dependência, de modo a construir bases para o conceito formal de função seno, que
é extensiva para os demais conceitos, cosseno e tangente, não obstante de algumas
particularidades para função tangente. O resultado de registo dos valores deve ser
como a Tabela 14.
Tabela1: Valores de y em função das diferentes amplitudes do ângulo α para o seno
Com as perguntas de impulso, a definição da função seno torna-se mais fácil de
formular, conforme apresentada abaixo.
▪ Chama-se função seno de , e escreve-se: ou
, a
função real de variável real ( ), que associa a cada arco de medida
o número real .
Verificação da Aprendizagem: Esse momento possibilita o professor ter o
feedback sobre a aprendizagem dos alunos, e ao aluno possibilita aperfeiçoar as ideias
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do novo conhecimento. Assim sendo, os alunos deverão utilizar a definição para
responder aos
seguintes questionamentos:
1. O porquê atribuímos o nome de “função trigonométrica” à função seno?
2. Quais das seguintes expressões são funções trigonométricas?
a)
b)
c)
d)
e)
3. Do problema inicial, suponhamos que o ângulo sob o qual o Victor vê o Sol é de
. Qual é o diâmetro do Sol se a distância
?
Após estes questionamentos, espera-se que os alunos apresentem como respostas:
1. A função é trigonométrica porque tem uma razão trigonométrica em sua lei de
formação.
Portanto, uma função é trigonométrica quando possui uma razão trigonométrica
em sua lei de formação.
2. As alíneas b), d) e e) são funções trigonométricas.
3. Sendo
a bissectriz do
, então,
Da expressão (1), tem-se:
Como
(o raio do Sol), então, o diâmetro do Sol será:
Procedimentos Metodológicos
3.1. Universo de Pesquisa e Amostra
O estudo sobre o recurso às tecnologias no ensino das funções trigonométricas na 10ª
classe do Instituto Politécnico do Kitona/Soyo teve como um dos passos fundamentais
a definição da população-alvo. De acordo com Vergara (1997), a população
corresponde ao conjunto de elementos que possuem características relevantes para o
objeto de estudo. Assim, a população desta pesquisa foi composta por 200 alunos e 7
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professores de Matemática da 10ª classe, pertencentes a sete cursos do instituto:
Técnico de Informática, Técnico de Informática de Gestão, Técnico de Manutenção
Mecânica, Técnico de Energia e Instalações Elétricas, Técnico de Obras e Construção
Civil, Técnico de Enfermagem e Técnico de Análises Clínicas.
A amostra, segundo Vergara (1997), é uma parte representativa da população
selecionada a partir de critérios específicos. Para a realização desta pesquisa foi
utilizada uma amostra de 132 alunos, considerada representativa do universo em
estudo.
Quanto ao tipo de pesquisa, adotaram-se as abordagens bibliográfica e descritiva. A
pesquisa bibliográfica permitiu o contato com diferentes obras científicas relacionadas
com o tema, contribuindo para a fundamentação teórica do trabalho. Já a pesquisa
descritiva possibilitou observar, registar e analisar os factos sem interferir neles,
permitindo também estabelecer relações entre variáveis.
Para a recolha de dados foi utilizado o inquérito por questionário, aplicado a alunos e
professores, contendo perguntas fechadas e de escolha múltipla. Os dados obtidos
foram organizados, tratados e analisados por meio de procedimentos estatísticos.
Resultados e discussão
Avaliação de Nivel de satisfação do enfoque
A escala de medição do nível de satisfação é de 1 (nada satisfeito) a 10 (muito satisfeito).
A variável pontuação da satisfação dos 132 alunos foi tratada como quantitativa e
verificada, através do teste estatístico t para uma amostra, se a média da pontuação dos
alunos é superior a 7,5. Para realizar o teste, primeiro verificamos o pressuposto da
aplicação do teste t, ou seja, avaliar se a distribuição da pontuação dos alunos se ajusta
a uma distribuição teórica conhecida ou não, no caso a distribuição normal. Para esse
fim, recorreu-se ao teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov.
Uma vez analizado o prssuposto do teste, com um nível de significância,
aplicou-se o teste t para uma amostra, estabelecendo as seguintes hipóteses do teste:
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: a média de satisfação com relação a estratégia proposta é igual ou inferior a 7,5
( ).
: a média de satisfação com relação a estratégia proposta é maior que 7,5 ( ).
Regra de decisão
Não rejeitar
se
Não rejeitar
se
e sinal da estatística de teste negativo
( )
Rejeitar
(aceitar
) se
e sinal da estatística de teste negativo
( )
Conforme a Tabela 1 ,
e , então rejeita-se
a hipótese nula, ou seja, aceita-se a hipótese alternativa. Portanto, existem evidências
estatísticas para se afirmar que a média da satisfação dos alunos com relação a
estratégia pedagógica proposta é superior a 7,5 (
), o
que revela uma elevada satisfação dos alunos com a estratégia, já que a média (de
satisfação) é significativamente superior a 7,5, estimando-se, com 95% de confiança,
que esteja compreendida entre 7,69 e 8,04 pontos, ver Tabela 15.
Tabela 1: Avaliação do nível de satisfação. Teste t para uma média.
One-Sample Test
Test Value = 7.5
T
df
Sig. (2-
tailed)
Mean
Difference
95% Confidence
Interval of the
Difference
Lower
Upper
AVAL_SAT
4.177
131
.000
.367
.19
.54
Fonte: Criação do autor, gerado através do ambiente SPSS.
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Conclusão
O presente estudo teve como principal objectivo: elaborar uma estratégia de
intervenção pedagógica, baseada no Enfoque CEPSol, que pode contribuir na melhoria
da formação dos alunos do II Ciclo do Ensino Secundário, no que se refere ao ensino e
aprendizagem das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.
Os dados da pesquisa bibliográfica e a exploratória, envolvendo o inquérito por
questionário, compuseram a estrutura deste trabalho, desde os fundamentos teóricos
à abordagem didáctico-metodológica proposta. Pela revisão da literatura pode-se
constatar o seguinte:
1. O processo de ensino e aprendizagem da trigonometria, tanto no contexto local
do Soyo como no país em geral, os seus conceitos são apresentados sem
clarificar o seu significado prático. Os professores, geralmente, só incentivam a
memorização dos modelos apresentados, as regras e leis, o que promove o
desinteresse de boa parte dos alunos, não fazendo sentido para eles estudarem
tais conceitos. Para que a aprendizagem ocorra de forma significativa é
fundamental que (i) o conteúdo a ser estudado seja potencialmente
significativo, (ii) o aluno deve ter a predisposição para aprender.
2. Deve ser uma preocupação primária de todo professor de Matemática, que a
compreensão dos conceitos a estudar seja o principal objectivo nas aulas
de Matemática, e esta concepção deve estar alicerçada na convicção de que a
aprendizagem é significativa para os alunos quando os conceitos são
construídos por eles e não quando são impostos pelo professor ou então pelo
livro didáctico.
Os resultados da presente pesquisa incluem: (i) os princípios para uma prática eficaz
do Enfoque CEPSol, (ii) as questões estratégicas da metodologia de ensino e do “fazer
matemática” e (iii) a proposta da estratégia de intervenção pedagógica para o
tratamento das funções trigonométricas. Através da avaliação do nível de satisfação
dos alunos, a média da pontuação de satisfação, atribuída por eles, é significativamente
superior a 7,5 (na escala de 1 a 10), o que revela a elevada satisfação dos alunos com a
estratégia pedagógica proposta. Esse resultado indica-nos que:
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➢ A aplicação do Enfoque CEPSol no processo de ensino e aprendizagem das
funções trigonométricas contribui na melhoria da formação dos alunos do II
Ciclo do Ensino Secundário Politécnico do Soyo.
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Este artigo está licenciado sob a licença: Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0
International License. Ao submeter o manuscrito o autor está ciente de que os direitos de autor
passam para a Revista Científica Multidisciplinar N´Kwa Zayi.
Recebido: 15/08/2025
Aceite: 14/04/2026
