Revista Científica Multidisciplinar Nkwa Zayi | Vol. 01 | N. 01 | Janeiro – Junho | pp. 149 - 166 | Ano 2026
Educação, Cultura e Desenvolvimento em
Angola: Perspectivas e Práticas
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Proposta de cálculo de integrais indefinidas de funções
racionais e irracionais no processo de ensino-aprendizagem
Proposal for calculating indefinite integrals of rational and irrational
functions in the teaching-learning process
Proposition de calcul des intégrales indéfinies de fonctions rationnelles et
irrationnelles dans le processus d'enseignement-apprentissage
Simão Celina Simão
1
Instituto Superior Universitário Nimi Ya Lukeni, Angola
celinasimaomath@gmail.com
Resumo
Esse artigo buscou analisar as dificuldades que os alunos da 12ª classe da escola do Magistério
do Soyo da opção Matemática e Física enfrentam no cálculo de integrais indefinidas de funções
racionais e irracionais e tem como finalidade, propor actividades ilustrativas para o cálculo de
integrais indefinidas de funções racionais e irracionais no processo de ensino-aprendizagem
que contribuam para o desenvolvimento de habilidades de cálculo. Numa abordagem
qualitativa e quantitativa, o questionário aplicado aos alunos permitiu determinar que, 68%
dos alunos apresentam deficiências no cálculo de exercícios relacionados as integrais
indefinidas, afectando o processo de ensino-aprendizagem da Matemática. A entrevista aos
professores reflecte insuficiências metodológicas que são causas dos problemas dos alunos.
Nas considerações finais, ressaltaram-se as análises obtidas por meio da pesquisa de campo e
os diversos conflitos e tensões apresentados pelos sujeitos da pesquisa. Como resultado final
obteve-se uma proposta de actividades ilustrativas de cálculo de integrais indefinidas de
funções racionais e irracionais, com um enfoque teórico-prático, onde o aluno deve transitar
por vários níveis de conhecimento que vai do nível teórico até ao nível prático.
Palavras-chave: Processo de ensino-aprendizagem; Integrais Indefinidas.
Abstract
This article sought to analyze the difficulties faced by 12th-grade students at the Soyo Teacher
Training School (Magistério do Soyo), majoring in Mathematics and Physics, regarding the
calculation of indefinite integrals of rational and irrational functions. Its purpose is to propose
illustrative activities for calculating indefinite integrals of rational and irrational functions
within the teaching-learning process, contributing to the development of calculation skills.
Using a qualitative and quantitative approach, a questionnaire applied to students revealed
that 68% of them show deficiencies in solving exercises related to indefinite integrals, affecting
the Mathematics teaching-learning process. Interviews with teachers reflected methodological
1
Mestre em Didáctica de Matemática. Docente do Departamento de Engenharia Informática e Multimédia
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insufficiencies that contribute to the students' problems. In the final considerations, the
analysis obtained through field research and the various conflicts and tensions presented by
the research subjects were highlighted. The final result is a proposal for illustrative activities
for calculating indefinite integrals of rational and irrational functions with a theoretical-
practical focus, where the student progresses through various levels of knowledge, from the
theoretical to the practical level.
Keywords: Teaching-learning process; Indefinite Integrals.
Résumé
Cet article a cherché à analyser les difficultés auxquelles sont confrontés les élèves de la 12ème année de
l'école du Magistério de Soyo, option Mathématiques et Physique, dans le calcul des intégrales
indéfinies de fonctions rationnelles et irrationnelles. Il a pour finalité de proposer des activités
illustratives pour le calcul d'intégrales indéfinies de fonctions rationnelles et irrationnelles
dans le processus d'enseignement-apprentissage, afin de contribuer au développement des
compétences en calcul. Dans une approche qualitative et quantitative, le questionnaire
appliqué aux élèves a permis de déterminer que 68% des élèves présentent des lacunes dans le
calcul d'exercices liés aux intégrales indéfinies, ce qui affecte le processus d'enseignement-
apprentissage des mathématiques. L'entretien avec les enseignants reflète des insuffisances
méthodologiques qui sont à l'origine des problèmes des élèves. Dans les considérations finales,
les analyses obtenues par la recherche de terrain ainsi que les divers conflits et tensions
présentés par les sujets de la recherche ont été mis en évidence. Le résultat final est une
proposition d'activités illustratives pour le calcul d'intégrales indéfinies de fonctions
rationnelles et irrationnelles, avec une approche théorico-pratique, où l'élève doit passer par
plusieurs niveaux de connaissances, du niveau théorique au niveau pratique.
Mots-clés: Processus d'enseignement-apprentissage; Intégrales Indéfinies.
Introdução
O processo de ensino-aprendizagem de integrais indefinidas dos alunos da 12ª classe,
da opção Matemática e Física, da escola do Magistério do Soyo, enfrenta desafios
complexos e multifacetados. Por um lado, os alunos demonstram dificuldades em
compreender e se envolver com o conteúdo ligado a cálculo de integrais indefinidas,
muitas vezes devido aos métodos de ensino tradicionais e pouco motivadores. Por
outro lado, os professores encontram obstáculos para alcançar resultados satisfatórios
e despertar o interesse dos alunos. Essa dinâmica, caracterizada por uma relação pouco
produtiva entre ensino-aprendizagem, exige uma profunda reflexão sobre as práticas
pedagógicas. Este artigo, propõe actividades ilustrastrativas de cálculo de integrais
indefinidas de funções racionais e irracionais.
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O professor, qualquer que seja o nível em que actue, pode e deve buscar razões e
motivações próprias para alcançar seus objectivos como educador e promover o
alcance dos objectivos dos educandos. Este artigo procurou conhecer um pouco dessa
realidade como situação crítica no ensino-aprendizagem da Matemática, na escola do
Magistério do Soyo.
Os conceitos de cálculo integral, na maioria das vezes, têm sido ‟ensinados e
aprendidos” por meio das aulas que valorizam a memorização, a aplicação de técnicas,
regras e algoritmos. Dessa forma, os professores têm a convicção de que o conteúdo foi
‟ensinado” e os alunos têm convicção de que o conteúdo foi ‟aprendido”. No entanto,
observa-se no ensino superior, o curso de cálculo diferencial e integral I, considerado
básico nos cursos da área de ciências exactas, apresenta um índice muito alto de
abandono e repetência. Esta questão foi constatada em 1992 por um estudo realizado
por Masetto, que apontou que cerca de 80% a 85% dos alunos foram reprovados.
(Masetto, 2000, citado por Melo, 2002).
Onde está o problema?
Barbosa e Neto (1995), enfatizam que um dos factores que interfere no rendimento do
aluno é a maneira como se processam os conhecimentos. A forma tradicional baseada
no modelo que trata o conteúdo como pronto e acabado. O aluno é treinado a utilizar
fórmulas, regras, aceitando e reproduzindo passivamente o que o professor
‟transmite” não sendo, portanto, motivado a construir seu conhecimento.
Enquadramento teórico
Processo de ensino-aprendizagem
Para Libâneo (1994), o processo de ensino-aprendizagem é mediado pelo professor e
pelo aluno, e o seu objectivo é construir o conhecimento, que faz parte do processo de
construção. O processo de construção é recíproco, o professor e o aluno actuam
activamente dentro da construção didáctica, o aluno não é um quadro branco, a
experiência da sua geografia deve ser uma parte componente deste processo.
O processo de ensino-aprendizagem tem sido historicamente caracterizado de formas
diferentes, que vão desde a ênfase no papel do professor como transmissor de
conhecimento, até as concepções actuais que concebem o processo de ensino-
aprendizagem como um todo integrado que destaca o papel do educando. Nesse último
enfoque, considera-se a integração do cognitivo e do afectivo, do instrutivo e do
educativo como requisitos psicológicos e pedagógicos essenciais. O instrutivo é um
processo de formar homens capazes e inteligentes. Entendendo por homem
inteligente, quando, diante de uma situação ou problema ele seja capaz de enfrentar e
buscar soluções para resolver os problemas. Ele tem de desenvolver sua inteligência e
isso só será possível se ele for formado mediante a utilização de actividades lógicas. O
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educativo consegue-se com a formação de valores, sentimentos que identificam o
homem como ser social, compreendendo o desenvolvimento de convicções, vontade e
outros elementos da esfera volitiva e afectiva que junto com a cognitiva permitem falar
de um processo de ensino-aprendizagem que tem por fim a formação multilateral da
personalidade do homem.
Meios de ensino e sua importância
O incremento da informação no mundo, como resultado da revolução científica e
técnica, que se caracteriza por um desenvolvimento vertiginoso da ciência e a
diminuição do período de tempo entre os lucros científicos e sua aplicação técnica e
industrialização, conduzem a pensar em um aumento da densidade dos programas
escolares. Quer dizer, a informação aumenta e o tempo para transmiti-la dentro da
instituição escolar se mantém constante. Isto representa um problema actual no que
se dedicam hoje pedagogos de diversos países.
Segundo Correa (2012), uma via de solução a este problema é elevar a produtividade
do trabalho dos professores e estudantes; por isso, os professores em todo mundo
manifestam um grande interesse por aperfeiçoar o ensino e elevar sua efectividade.
Os meios de ensino são os componentes do processo educativo que servem de sustento
material aos métodos de ensino. Quer dizer, não se podem separar os meios dos
métodos.
Os meios de ensino, permitem maior eficiência no processo de assimilação do
conhecimento pelos estudantes e criar as condições para o desenvolvimento de
capacidades, hábitos, habilidades e a formação de convicções; reduzem grandemente
o tempo necessário para a aprendizagem; permitem um maior aproveitamento dos
órgãos sensoriais; obtém-se uma maior permanência na memória dos conhecimentos
adquiridos; eleva-se a efectividade do sistema escolar; motivam a aprendizagem e
activam as funções intelectuais para a aquisição do conhecimento; facilitam que o
estudante seja agente de seu próprio conhecimento, quer dizer, contribuem para que o
ensino seja activo e permitem a aplicação dos conhecimentos adquiridos.
Os meios não só intervêm no processo de ensino, mas também são elementos
poderosos no trabalho educativo. Para aproveitar as potencialidades do estudante,
devem-se utilizar meios que lhe exigem um trabalho activo para a compreensão do
novo conteúdo e o reforço do já aprendido, integrado em um harmônico balanço com
as actividades de consolidação e fixação do conhecimento por parte do professor.
O uso adequado dos meios de ensino, eleva as possibilidades e a qualidade do trabalho
de ensino e educação dos professores, aperfeiçoa as actividades cognitivas e de
assimilação dos estudantes nas diferentes etapas do processo de ensino-aprendizagem.
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Papel do professor na construção do conhecimento
O papel do professor na construção do conhecimento é fundamental. Ao actuar como
mediador, ele facilita a interação do aluno com o objecto de conhecimento,
promovendo a construção de significados e a aquisição de novas habilidades. Piaget
(1975), postula que o conhecimento se constrói a partir da interação activa do sujeito
com o objecto a ser conhecido. Essa construção se dá através da organização e
sistematização das informações obtidas a partir das experiências. Para o autor, o
conhecimento não é algo passivamente recebido, mas sim uma construção activa do
sujeito, que busca dar sentido ao mundo à sua volta. A abstração reflexiva, processo
pelo qual o sujeito extrai características comuns a diferentes situações, é fundamental
para essa construção. O professor, ao estabelecer conexões entre os novos
conhecimentos e as experiências prévias do aluno, proporciona um ambiente de
aprendizagem significativo, no qual o aluno se sente motivado a explorar e construir
seu próprio conhecimento.
A teoria de Piaget enfatiza a importância da exploração activa do objecto de
conhecimento pelo aluno. Ao explorar e manipular o objeto, o aluno constrói esquemas
mentais que lhe permitem compreender o mundo. Desse modo, o conhecimento não é
uma cópia da realidade, mas uma construção pessoal e única. A aprendizagem,
segundo Piaget, está intimamente ligada à ação e à experimentação, sendo
fundamental que o aluno tenha oportunidades de manipular objetos, realizar
experimentos e resolver problemas.
Dessa maneira, tanto o professor e o aluno têm liberdade de estar dialogando durante
o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem, estabelecendo-se assim um
processo de comunicação autêntica na construção do conhecimento na sala de aula. De
modo que as mudanças ocorridas nessa relação pedagógica, reflitam também um clima
de afectividade, comunicação, respeito e ambiente de harmonia em favor da
aprendizagem.
Ensino-aprendizagem da Matemática
Diversos estudos, como o de Piovesan e Zanardini (2008), apontam para a necessidade
de buscar novas abordagens que tornem o ensino da Matemática mais significativo e
eficaz, superando os desafios e promovendo uma aprendizagem mais significativa e
prazerosa para os alunos.
Segundo Ballester (1995), a aprendizagem da Matemática não se diferencia de outros
tipos de aprendizagem. Como sabemos, ao ensinar devemos partir do simples ao
complexo. Nas últimas décadas, a Didática geral e em particular a Didática da
Matemática, viria ser influenciada em diferentes partes do mundo, por tendências
muito avançadas nas que se advoga que os alunos assumam o papel de protagonismo
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no processo de ensino-aprendizagem, que obtenham maior independência cognitiva,
que tenham capacidade de utilizar correctamente os métodos indutivos e dedutivos da
lógica, para o desenvolvimento integral de sua personalidade.
Segundo Miguel e Miorim (2004, pp. 70-71), o ensino da matemática visa não apenas
a transmissão de conhecimentos, mas também o desenvolvimento de habilidades,
valores e atitudes que contribuam para a formação integral do indivíduo".
Segundo Sousa, 2014 citado por Araújo, 2021:
‟A matemática é vista por alguns pesquisadores como o alicerce, ou
ferramenta de outras áreas do conhecimento, é dotada de argumentos lógicos,
de análises e inferências que permite desenvolver o nível cognitivo e criativo.
Tem sua utilização defendida, nos mais diversos graus de escolaridade, como
meio para fazer emergir essa habilidade em criar, resolver problemas, e
modelar. Faz-se necessário assim encontrar meios, para desenvolver aos
alunos a capacidade de ler e interpretar o domínio da Matemática. No que se
refere ao seu ensino, a Matemática no âmbito pedagógico está sempre em
meios às discussões, que fazem surgir novas teorias e novas metodologias que
visem uma maior assimilação por parte dos estudantes, há aqueles que a
defendem com uma força enorme, geralmente, profissionais da área, e há
também muitos que a criticam, que discutem o seu valor em uma sociedade e
a importância que seu ensino traz a uma nação. Várias avaliações e exames
veem a matemática uma forma de explorar o potencial da mente humana”
(Sousa, 2014, p. 15, citado por Araújo, 2021).
Desse modo, ao longo de nossas leituras e compreensões, defendemos que, aprender
matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar nas
respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para
resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas,
desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o
imediatamente sensível.
Integrais indefinidas
Definição: Integral indefinida: o conjunto
de todas as primitivas de uma
mesma função chama-se integral indefinida de e se denota por
, quer
dizer:
Onde aparece apenas para indicar que é a variável independente. Se é
uma primitiva de temos que:
O que é denotado simplesmente por .
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Onde é uma constante arbitrária, que percorre todos os números reais.
Isso ocorre pois duas primitivas da função necessariamente diferem por
uma constante e sempre que se adiciona uma constante a uma primitiva de
obtém-se uma nova primitiva de .
Propriedades da integral indefinida
Seja ), :
Métodos de integração
Para levar a cabo o processo de integração, existem três métodos de integração, que se
aplicam tendo em conta as particularidades de cada integrando: método de integração
por substituição, método de integração por partes
2
e método de integração por
decomposição de fracções racionais em soma de fracções parciais ou fracções simples.
Método de integração por substituição
Segundo Stewart (2002), este método se utiliza quando na integral se apresenta uma
função é seu próprio diferencial ou só se precisa completar este último multiplicando
por uma constante. Podem apresentar-se muitos casos para ser resolvidos por este
método de integração, exemplificados nos exemplos seguintes:
I. Para uma integral da forma , realiza-se a substituição
para obter directamente, ou através de um complemento, o diferencial .
Se se fizer a substituição de variável, fica que:
2
De acordo com o tema, o método de integração por partes não será abordado neste artigo.
dxxfxf )()(
)(xfu =
dxxfdu )(
=
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II. Para uma integral da forma , realiza-se a substituição para
obter directamente, ou a través de um complemento, o diferencial . Se se
fizer a substituição de variável, fica que:
III. Para uma integral da forma , realiza-se a substituição
para obter directamente, ou a través de um complemento, o diferencial .
Se se fizer a substituição de variável, fica que:
Método de integração por decomposição de fracções racionais em soma
de fracções parciais ou fracções simples
Para a aplicação deste método de integração, é preciso que o integrando seja uma
fracção racional própria (quer dizer, que o grau do polinómio do numerador seja
menor que o grau do polinómio do denominador). No caso que seja uma fracção
racional imprópria (quer dizer, que o grau do polinómio do numerador seja maior ou
igual a grau do polinómio do denominador), realizar uma divisão algébrica longa seria
uma ferramenta para sua transformação em termos de um polinómio unido a uma
fracção racional própria (em sua forma simples ou transformável a uma soma de
fracções parciais ou simples).
O resultado da divisão é:
Onde s e r também são polinómios.
é o dividendo;
é o quociente;
é o resto;
é o divisor.
)(
)(
xf
dxxf
)(xfu =
dxxfdu )(
=
+
dx
xf
xf
2
)(1
)(
)(xfu =
dxxfdu )(
=
+=+=
+
=
+
=
+
CxftanarcCutanarc
u
du
xf
dxxf
dx
xf
xf
)(
1
)(1
)(
)(1
)(
222
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Regras de divisão de polinómios
Passo I. Escrevemos os polinômios e na ordem decrescente dos expoentes
dos seus termos e completamo-los com os termos de coeficientes zero.
Passo II. Dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior
grau do divisor . Obtém-se desta forma, o primeiro termo do quociente .
A seguir multiplicamos o termo obtido pelo divisor e subtraímos o produto obtido do
dividendo.
Se o polinómio que representa a diferença obtida tenha grau maior ou igual ao do
divisor, ele passa a ser um novo dividendo e repete-se o algoritmo a partir do 2º passo.
Se o polinómio que representa a diferença obtida tenha grau inferior ao do divisor ele
representa o resto .
Exemplo de divisão de polinómios
Sejam
e divide os polinómios.
Passo I.
e
Passo II.
O polinómio
que representa a diferença obtida tem grau maior do que
o do divisor, portanto, repetimos o passo II.
O polinómio que representa a diferença obtida
tem mesmo grau que o do
divisor, portanto, repetimos o passo II.
1
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A expressão que representa a diferença obtida tem grau inferior ao do divisor e,
portanto temos:
Decomposição de fracções racionais próprias
Toda fracção racional própria pode-se expressar como soma de fracções simples cujos
denominadores são da forma
e
sendo um número inteiro e
positivo.
Atendendo à natureza dos factores do denominador, podem-se considerar quatro
casos:
Caso I. O denominador é um produto de factores lineares
distintos
, onde nenhum fator é repetido (e
nenhum factor é múltiplo constante do outro).
Nesse caso, a cada factor linear, do denominador duma fracção racional
própria, corresponde uma fracção da forma:
onde A é uma constante a
determinar.
Exemplo do caso I
Resolução: Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não
precisamos dividir. Factoramos o denominador como:
Como o denominador tem três factores lineares distintos, a decomposição em frações
parciais tem a forma:
Caso II. é um produto de factores lineares, e alguns dos fatores
são repetidos
Cada factor linear que figure vezes no denominador duma fracção racional
própria, corresponde uma soma de fracções da forma:
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, sendo
,
,
constantes a determinar.
Exemplo do caso II
Tem uma decomposição em fracções parciais da forma
Caso III. Factores quadráticos irredutíveis e distintos
Se tiver o factor
, onde
, então:
A cada factor quadrático irredutível
no denominador de uma fracção
racional própria, corresponde uma fracção da forma
sendo A e B constantes
a determinar.
Exemplo do caso III
Tem uma decomposição em fracções parciais da forma
Caso IV. factores quadráticos irredutíveis repetidos
Se tiver o factor
, onde
, então:
A cada factor quadrático irreduzível
, que se repete n vezes no
denominador de uma fracção racional própria, corresponde uma soma de n fracções
da forma:
; sendo A e B constantes a determinar.
Exemplo do caso IV
Tem uma decomposição em fracções parciais da forma:
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Os coeficientes
,
, B,
,
, C, D, E calculam-se aplicando o método dos
‟coeficientes indeterminados”
Procedimentos metodológicos
Quanto a sua abordagem, a presente pesquisa sustenta-se no paradigma de
investigação mista, dadas as particularidades do objecto de estudo. Utilizou-se a
pesquisa bibliográfica e pesquisa de campo para recolha de dados e análise das
informações.
Apresentação e discussão dos resultados
Passos para a colecta de dados
Passo 1: Identificar o nível de conhecimento prévio dos alunos acerca das integrais
indefinidas.
Passo 2: Avaliar as dificuldades metodológicas enfrentadas pelos professores no
ensino de integrais indefinidas.
Passo 3: Analisar como os professores conduzem as aulas sobre integrais, incluindo
explicações teóricas e resolução de exercícios.
Interpretação quantitativa:
Utilizar ferramentas como Microsoft Excel para criar gráficos e tabelas que mostrem o
desempenho dos diagnósticos.
Interpretação qualitativa:
Analisar as respostas abertas da entrevista para identificar padrões nas percepções dos
alunos e professores
Discussão do questionarário aplicado aos alunos
Gráfico 1- Deficiências que afectam o ensino médio na aprendizagem de
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integrais indefinidas
Fonte: Elaborado por autor ( 2025)
A elevada porcentagem de alunos (57%) que identificam deficiências no ensino médio
na aprendizagem de integrais indefinidas, sugere que há lacunas significativas na
abordagem pedagógica actual. Isso pode incluir a falta de recursos didácticos,
metodologias inadequadas ou insuficiência na formação dos professores, o que
impacta diretamente na aprendizagem das integrais.
Gráfico 2- Dificuldade em reconhecer os métodos de cálculo de integrais indefinidas.
Fonte: Elaborado por autor (2025)
A dificuldade expressa por 68% dos alunos em não reconhecer os métodos de cálculo
de integrais indefinidas, é um sinal claro de que as estratégias pedagógicas actuais não
estão sendo eficazes. Isso sugere uma necessidade urgente de revisão nas abordagens
utilizadas para ensinar esses métodos.
57%
39%
4%
Sim Parcialmente Não
Sim
68%
Não
32%
Sim Não
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Discussão da entrevista aplicada aos professores
Os professores entrevistados, enfrentam desafios relacionados à eficácia de suas
metodologias de ensino. Muitos alunos sentem que a abordagem pedagógica utilizada
não é adequada para facilitar a compreensão das integrais indefinidas. As análises da
entrevista sugerem que os professores precisam de formação contínua e apoio para
diversificar suas estratégias de ensino, incorporando métodos mais interativos e
práticos.
As dificuldades identificadas aos professores em função ao estado encontrado nos
alunos, refletem um conjunto de factores que afetam o processo de ensino-
aprendizagem das integrais indefinidas. Para abordar essas questões, é fundamental
implementar uma proposta que considere as necessidades dos alunos e capacite os
professores com as ferramentas necessárias para melhorar a eficácia do ensino.
1. Proposta: actividades ilustrativas
5.1. Objectivos das actividades ilustrativas
• Permitir aos alunos aprofundar os conteúdos recebidos e, em alguns casos, a
aprendizagem de forma auto-didacta;
• Desenvolver habilidades de cálculo de integrais indefinidas das funções
racionais e irracionais.
5.2. Actividade ilustrativa de cálculo de integrais indefinidas de
funcões racionais impróprias
A função integrando é uma fracção racional imprópria, pois o grau do numerador é
maior que o de denominado. Portanto, dividem-se os polinómios.
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2
5.3. Actividade ilustrativa de cálculo de integrais indefinidas de
funcões racionais próprias
Resolução: Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não
precisamos dividir. Factoramos o denominador como:
Como o denominador tem dois factores lineares distintos, a decomposição em frações
parciais tem a forma:
Passo 1. Aplicar método de coeficientes indeterminados
Procurando o denominador comum, tem-se:
Igualando os denominadores:
Passo 2. Cálculo das constantes A e B:
Método geral. Se identificam os coeficientes de igual potência de e se resolve o
sistema de equações obtido para determinar o valor das constantes. Isto é:
Substituindo o valor de A, teremos:
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Método abreviado: Se substitui os valores de que anulam os denominadores das
fracções, quer dizer, para e obtendo: e
Passo 3. Achar a integral com os resultados das constantes A e B. Ou seja:
Actividade ilustrativa de integrais indefinidas de funções irracionais por
Método de Integração por substituição
O método de integração por substituição ou mudança de variável é consequência
directa da regra de cadeia.
Fazendo
; Aplicando as propriedades das equações irracionais, teremos
isolando teremos:
Derivando os dois membros teremos:
, substituindo teremos:
Substituindo o valor do , teremos:
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Considerações finais
O marco teórico realizado sobre o cálculo de integrais indefinidas de funções racionais
e irracionais aos alunos da 12ª classe, da Escola do Magistério do Soyo, assume-se de
uma perspectiva sistematizada, para o processo de ensino-aprendizagem da
Matemática, permitindo compreender os referentes teóricos que são essenciais para a
melhoria do processo de ensino-aprendizagem deste conteúdo.
O questionário aplicado aos alunos da 12ª classe da Escola do Magistério do Soyo,
permitiu determinar que, 68% dos alunos apresentam deficiências no cálculo de
exercícios relacionados as integrais indefinidas, afectando o processo de ensino-
aprendizagem da Matemática. A entrevista aos professores reflecte insuficiências
metodológicas que são causas dos problemas dos alunos.
A proposta de actividades ilustrativas de cálculo de integrais indefinidas de funções
racionais e irracionais no processo de ensino-aprendizagem aos alunos da 12ª classe,
da escola do Magistério do Soyo, foi elaborada em conformidade aos resultados dos
inquéritos. Esta proposta é dinâmica e adaptável, buscando atender as necessidades
dos alunos e superar as dificuldades identificadas nos inquéritos. Ao incorporar essas
características, espera-se melhorar significativamente o processo de ensino-
aprendizagem das integrais indefinidas, promovendo um ambiente mais colaborativo,
motivador e eficaz.
Revista Científica Multidisciplinar Nkwa Zayi | Vol. 01 | N. 01 | Janeiro – Junho | pp. 149 - 166 | Ano 2026
Educação, Cultura e Desenvolvimento em
Angola: Perspectivas e Práticas
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Recebido: 12/08/2025
Aceite: 14/04/2026
