Revista Científica do ISCED - Huíla, Lubango, v. 2, n.2, p. 29-39, Jul./ Dez., 2021.

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ARTIGO

Lógica e Linguagem no Ensino e Aprendizagem da Matemática

Logic and Language in the Teaching and Learning of Mathematics

Virgilinx Gustave

Instituto de Geociências da Universidade de Estado de Campinas, Brasil

virgilinx@gmail.com

Valdomiro Pinheiro Teixeira Junior

Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará, Brasil

valdomiro@unifesspa.edu.br

Ilgentche Appolon

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Brasil

appolonilgentche26@gmail.com

Resumo

O presente artigo tem como objectivo destacar o papel da lógica e da linguagem no processo de

ensino e aprendizagem da Matemática. É de natureza qualitativa e se configura como um estudo

bibliográfico, com a base teórica dos registos de representações semióticas de Raymond Duval. Este

último desempenha um papel importante na transmissão e assimilação dos conhecimentos

matemáticos, facilitando as diferentes operações que são realizadas através dos registos em relação

aos diferentes tipos de linguagem, seja ela natural, aritmética, algébrica, gráfica ou figurativa. A

pesquisa bibliográfica foi o método utilizado e permitiu realizar uma abordagem qualitativa sobre a

relação entre lógica, linguagem e o ensino-aprendizagem da matemática. O estudo concluiu, entre

vários aspectos, que para promover a aprendizagem da Matemática, os alunos devem ser capazes de

manipular símbolos e expressões matemáticas adequadamente.

Palavras-Chave: Lógica, Linguagem matemática, Teoria dos registros de representações

semióticas.

Abstract

This article aims to highlight the role of logic and language in the process of teaching and learning

mathematics. It is qualitative in nature and takes the form of a bibliographic study, based on Raymond

Duval's theory of semiotic representation registers. This theory plays an important role in the

transmission and assimilation of mathematical knowledge, facilitating the different operations

carried out through the registers in relation to different types of language, whether natural, arithmetic,

algebraic, graphical, or figurative.The bibliographic research method was used, which allowed for a

qualitative approach to the relationship between logic, language, and the teaching-learning of

mathematics. The study concluded, among several aspects, that in order to promote the learning of

mathematics, students must be able to manipulate symbols and mathematical expressions

appropriately.

Keywords: Logic, Mathematical language, Theory of semiotic representation registers

Doutorando. Programa de Pós-Graduação em Ensino e História das Ciências da Terra.

Doutor. Professor Adjunto da Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará.

Doutorando. Programa de Pós-Graduação em Educação na Universidade do Estado do Rio de

Janeiro.

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Introdução

A transversalidade e a omnipresença da Matemática em outros ramos do

conhecimento fazem dela uma disciplina privilegiada no ensino e aprendizagem. Tal facto

leva à intervenção de vários especialistas de didáctica, epistemologia, filosofia, educação,

enfim, de todas as pessoas que trabalham neste campo do conhecimento na busca de métodos

e ferramentas que garantam melhor qualidade do seu ensino e aprendizagem na escola, a fim

de treinar cada aluno numa cultura matemática.

A reflexão sobre a alfabetização matemática, segundo OECD (2004,p.39), considera

que:

A alfabetização matemática é a capacidade de um indivíduo de identificar e

compreender o papel da matemática no mundo, de fazer julgamentos sólidos sobre

ela e de se envolver em atividades matemáticas, como exigido para a vida como um

cidadão construtivo, envolvido e reflexivo.

Segundo Bayenet (2005), a Matemática permite a compreensão de várias ciências,

e, portanto, o mundo ao nosso redor. Ela ajuda-nos não só a conquistar o nosso ambiente,

mas, também, a escolher entre o útil e o supérfluo, entre a verdade e a falsidade, entre o bem

e o mal, em suma, a Matemática guia a razão esclarecendo-a pelo bom senso:

A matemática, em particular, é uma ferramenta fundamental para o progresso da

humanidade. Antes de tudo, ela permite a inculcação de um espírito de racionalidade,

pensamento lógico, um senso crítico de questionamento perpétuo e uma capacidade

de ordenar a pletora de informações com que o indivíduo de amanhã será

confrontado ainda mais do que o de hoje. A condição indispensável para que o

homem encontre seu equilíbrio na sociedade é o domínio desta ferramenta

matemática (Bayenet, 2005. p.9).

Dado o papel preponderante que a lógica e a linguagem desempenham na transmissão

do conhecimento matemático, é importante levar esses dois aspectos em consideração no

processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Desde 1969, os diversos currículos

mencionam a importância do ensino da lógica na aquisição do conhecimento. No mesmo

ano, a linguagem dos conjuntos foi um objecto de aprendizagem que não aparece

explicitamente nos programas subsequentes. No entanto, há uma importante característica

comum em todos estes currículos: qualquer discussão sobre lógica matemática é excluída.

O estudo de várias formas de raciocínio e a necessidade de distinguir entre a

implicação matemática e esta aquisição deve ser difundida ao longo do ano, quando as

situações estudadas oferecem a oportunidade de o fazer e não de tratar a lógica em um

capítulo específico (EDUSCOL, 2009).

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Segundo Mesnil (2014), a Lógica Matemática pode ser usada para descrever certos

fenómenos linguísticos encontrados na actividade matemática. A lógica na actividade

matemática está inevitavelmente presente na aula de Matemática. O objectivo não é ensinar

noções de Lógica Matemática, definindo objectos e dando certas propriedades, mas

apresentar ferramentas que possam ajudar os alunos a aprender a linguagem e o raciocínio

matemático.

Tanto a "lógica" quanto a "linguagem" desempenham um papel importante na

compreensão e na matemática de um problema, na transição de um registo de representação

para outro. Na maioria das vezes, o estudante entra em contacto primeiro com a língua

natural, que é a língua materna. No caso em que o estudante apresente dificuldades em

transformar o conteúdo da linguagem quotidiana em outro registo, seja algébrico, aritmético

ou gráfico, poderá estar sujeito a um bloqueio na sua aprendizagem.

O presente artigo é baseado nos registos de representações semióticas de Raymond

Duval. De acordo com Duval (2006), em matemática, um registo de representação semiótica

só é interessante, na medida em que pode ser transformado em outro registo de

representação. É somente na medida em que atendam a este requisito fundamental que as

representações semióticas podem simbolizar algo real e racionalmente explorável, ou seja,

tornar-se o meio de acesso a objectos de outra forma inacessíveis.

De acordo com Mesnil (2014), muitos professores de Matemática acham que os seus

alunos têm dificuldade para se expressar e raciocinar. Contudo, a linguagem e o raciocínio

são os dois pilares da lógica. A aplicação de ambos pode influenciar positivamente o ensino

e a aprendizagem da Matemática. Isto adequa-se à pertinência de questionar o papel e a

importância da lógica e da linguagem no ensino e na aprendizagem da Matemática. É

importante esclarecer aqui o significado das palavras linguagem e lógica.

Segundo Rebière (2013), a palavra "linguagem" é usada no sentido geral da

capacidade de homens e mulheres de se expressarem e de se comunicarem uns com os outros

por meio da linguagem. Segundo Bronckart (2007), a palavra "linguagem" é vista aqui como

um conjunto de palavras, um sistema de regras lexicais, gramaticais e sintácticas, um

reservatório internalizado de sinais compartilhados por uma comunidade. A linguagem tem

uma dimensão individual e social que são inseparáveis.

O dicionário Trésor de la Langue Française Informatisé (consultado on-line, vide

referências bibliográficas) define a lógica como um substantivo feminino, uma ciência

relativa aos processos de pensamento racional (indução, dedução, hipótese) e a formulação

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discursiva das verdades. A palavra “matemática” como um substantivo feminino, como um

conjunto de disciplinas que procedem de acordo com o método dedutivo e que estudam as

propriedades dos seres abstratos, como números, figuras geométricas e as relações entre eles.

A lógica aqui definida não é vista apenas como uma ciência do raciocínio, mas

também como uma ciência da linguagem. A intersecção destas duas definições mostra que,

em Matemática, a lógica serviria assim para estudar o método dedutivo a partir do qual esta

disciplina procede e a formulação discursiva de verdades que dizem respeito a seres

abstratos, assim como as relações que existem entre eles.

Com base em Blanché (1970), retomado por Mesnil (2012), podemos resumir o papel

da lógica. A lógica de Aristóteles, e em paralelo a dos Megáricos e depois a dos Estóicos, é

vista como uma lógica a serviço do raciocínio. A partir de certos raciocínios básicos

considerados óbvios, é uma questão de dar a si mesmo métodos para justificar a validade

dos outros.

Do ponto de vista da linguagem, a lógica de Aristóteles é tradicionalmente descrita

como uma lógica de termos, enquanto que a dos estóicos é uma lógica de proposições. É esta

concepção da lógica como ciência do raciocínio que continua na tradição escolástica da

Idade Média. Também é vista geralmente como uma das ciências da linguagem, ao lado da

gramática e da retórica, que ensina como falar com verdade (Blanche, 1970).

De modo geral, cada grupo social desenvolve suas próprias práticas, incluindo

práticas linguísticas. Essas práticas são relativamente estáveis, mas estão vivas, elas

evoluem. Eles são, em certa medida, específicas de uma comunidade e mostram o que é

aceitável dentro dela, validam a relevância das práticas colectivas e individuais e participam

da construção do elo social, da coerência do grupo, das suas actividades e da sua maneira de

pensar sobre o mundo (Rebiere, 2013).

A linguagem é uma ferramenta para construir, negociar e transformar as

representações individuais (as do sujeito em questão, as das pessoas com quem ele interage).

As práticas linguísticas são, portanto, um objecto de estudo particularmente sensível numa

perspectiva de pesquisa sobre o ensino e a aprendizagem de uma disciplina. Assim, os

matemáticos têm uma certa forma de usar a linguagem, têm práticas e usos específicos.

Podemos ver que as coisas podem ser ditas de muitas maneiras. Não há necessariamente uma

única maneira de dizer algo. Não há necessidade de explicitar estas formas e de saber como

descrevê-las, a maioria das regras estão implícitas (Hache, 2015).

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Abordagens Didácticas

Estudar Matemática na escola obriga o aluno a saber manipular a linguagem natural

e a linguagem matemática. Se o aluno não conseguir dominar as informações contidas na

linguagem natural, é provável que tenha dificuldades em resolver certos problemas.

De acordo com Moise Leung (2020), a definição matemática está muito longe de ser

uma definição de dicionário (descrição dos objectos ou conceitos referidos, esboços dos

diferentes significados da palavra, lista de usos). A disciplina tem um léxico específico:

algumas palavras ou expressões são encontradas apenas na linguagem natural em seu sentido

matemático, como "bisseto", "coseno". Existem palavras na linguagem natural, tais como:

"altura", "base", "meio", "centro" que são usadas de uma forma específica. Entretanto, em

outros contextos, estas palavras têm um significado diferente. Por exemplo :

▪ Meio nas ciências físicas e químicas: uma substância na qual ocorre uma reacção

ou fenómeno e que é caracterizada por certas propriedades (Ambiente ácido).

▪ Meio em geografia é “Ambiente”: todas as características naturais e humanas que

influenciam a vida humana (Ambiente urbano).

▪ Meio nas ciências da vida e da terra: todos os factores físico-químicos e biológicos

que actuam sobre uma célula, um ser vivo, uma espécie. (O deserto, a floresta, a montanha

são ambientes nos quais vivem certas espécies).

▪ Meio em matemática: pode ser um "meio de um segmento" do segmento localizado

a igual distância entre duas extremidades.

A observação feita é que uma palavra em linguagem natural pode ter múltiplos

significados, dependendo dos seus recursos linguísticos e do contexto em que é utilizada. É

necessário dominar as variantes do idioma em cada disciplina, o que facilitará o domínio do

conteúdo.

Na passagem da linguagem natural para a linguagem matemática, na mudança da

escrita de uma expressão que está em extensão para compreensão, que se encontra muito

frequentemente na teoria dos conjuntos

, deve-se manipular tantos vocabulários, conectores

e quantificadores lógicos (quantificadores universais ou existenciais) como "e", "ou", "a",

"o", "com", "qualquer coisa", "se ...", "existe". Se tomarmos o caso do "OU", fazer a

A teoria do conjunto é um ramo da matemática, criado pelo matemático alemão Georg Cantor no

final do século XIX. Ela toma como primitivas as noções de conjunto e de associação, a partir das

quais reconstrói os objectos habituais da matemática: funções, relações, inteiros naturais e relativos,

racionalidades, números reais, complexos.

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diferença entre o "OU" inclusivo e o exclusivo "OU" é um passo importante no compreensão

textual, por exemplo, na declaração "Um número é par ou ímpar" o "OU" aqui é exclusivo

porque um número não pode ser par e ímpar ao mesmo tempo, mas pode ser ou um ou outro.

Na declaração "Um estudante é punido se ele ou ela for falador ou preguiçoso" aqui o "OU"

é inclusivo porque o estudante pode ser punido se ele ou ela for falador e preguiçoso, ambos

os fatos podem ocorrer. Na verdade, a compreensão da língua é um ponto de partida na

actividade matemática. Se o estudante tiver dificuldades de entender as informações

matemáticas contidas no caso da linguagem natural, poderá não ser possível atingir os

objectivos da aprendizagem.

Duval (2006), afirma que a influência do pensamento de Vygotsky havia enfatizado,

contra as explicações de Piaget, a importância da linguagem através de suas três modalidades

de expressão - interior, oral e escrita, no desenvolvimento do pensamento da criança. Uma

palavra pode ter um significado quando é isolada, porém em uma proposta matemática ela

tem um significado diferente, isto acontece em muitas áreas.

Em linguagem natural algumas palavras são usadas como advérbios, determinantes,

conjunções, preposições, ou formas verbais como são usadas em casos específicos. Como

no uso diário, algumas palavras como "ponto", "linha", "número", "número relativo",

"ângulo" são manipuladas em matemática antes de corresponderem a uma definição

matemática.

A matemática não é apenas uma linguagem única e linear, mas sim uma combinação.

A primeira é natural ou habitual, na qual as actividades matemáticas usarão como prioridade

os vectores e canais da língua natural ou língua materna tanto na transmissão de

conhecimentos como na apresentação de trabalhos ou produções dos alunos. A segunda é

simbólica e gráfica, que utiliza diferentes formas de expressão como números, símbolos,

tabelas, diagramas ou figuras.

Segundo Condillac (1982), em matemática, uma representação só é interessante na

medida em que pode ser transformada em outra representação. Um sinal só é interessante se

puder ser substituído por outros sinais a fim de realizar operações. Portanto, não são as

representações que são importantes, mas as transformações das representações. Esta

exigência levou ao desenvolvimento de um simbolismo específico em matemática, com a

representação de números, com álgebra, com a análise.

De acordo com Duval (2017), o registo da linguagem natural é necessário para

colocar problemas aritméticos, ou para dar instrução de uma actividade de contagem, ou o

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objectivo da actividade. Por outro lado, a solução do problema requer a mudança para um

ou dois outros registos. Passando do uso de um registo de representação desde a linguagem

natural para uma representação que seja aritmética, numérica, gráfica ou figurativa que

desenvolve uma certa habilidade no aluno no domínio do conteúdo e na manipulação de

objectos matemáticos.

Duval (1993) caracteriza um sistema semiótico, um registo, como um sistema de

representação. Segundo o autor, para que um sistema seja um registo representativo, deverá

permitir as três actividades cognitivas relacionadas à semiose:

▪ A formação de uma representação identificável.

▪ O processamento de uma representação é a transformação dessa representação no

próprio registo em que ela foi formada. O cálculo é, por exemplo, uma forma de

processamento de escritos simbólicos.

▪ A conversão de uma representação é a transformação dessa representação em uma

representação de outro registo, preservando todo ou apenas parte do conteúdo da

representação inicial. Por exemplo, a conversão da escrita decimal para a escrita fraccionária.

Metodologia

Para o presente artigo, o método é particularmente relevante no contexto da síntese e

análise de informações de várias fontes, como livros, artigos científicos e publicações

académicas.

Resultados e Discussões

A análise da lógica e linguagem no ensino e aprendizagem da Matemática levou em

consideração a nossa experiência e a produção discursiva motivada por perguntas

complementares, delineando blocos temáticos. Tal exercício possibilitou a identificação de

eixos interpretativos com base na teoria do registo de representação semiótica desenvolvida

pelo filósofo francês Duval(1993).

As diferentes operações realizadas nos registos semióticos desenvolvem no aluno

uma certa capacidade de dominar diferentes tipos de linguagem. Seja em álgebra, passando

da afirmação para os escritos algébricos, seja em análise, passando da função para as

representações gráficas, seja em teoria, passando da linguagem natural para os escritos

matemáticos, seja da escrita em extensão para a escrita em compreensão, etc.

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Como Exemplo 1, tomemos estas duas representações em registos diferentes, com

base na teoria de Duval. Aqui é uma conversão do registo natural em dois registos diferentes.

Registo natural Registo simbólico Registo figurativo

1.- X pertence a E X∈ 𝐸 E

2.- F incluído em E F ⊏ E E

Fonte: Autor, baseado na teoria de R. Duval.

Exemplo 2 : Neste exemplo, a expressão é escrita em linguagem natural, uma

conversão a transformou em linguagem simbólica. Para qualquer número real, existe pelo

menos um número natural N maior ou igual a X.

∀ X ∈ R, ∃ N ∈ N/, N≥X.

Exemplo 3:

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Figura 1: Exemplo de Tratamento e Conversão

Fonte: Denardi, 2017

Segundo Moise Leung (2020), fazer matemática envolve manipular objectos

específicos da disciplina, propriedades desses objectos, relações entre objectos e provas

dessas propriedades e relações.

Estes objectos são fundamentalmente abstratos, por exemplo, não se pode mostrar

uma linha recta e um triângulo, por isso, são manipulados através de suas representações e

especialmente através da linguagem. Além disso, a manipulação de variáveis é parte da

actividade matemática, e esta manipulação (introdução de variáveis, formulação de

quantificações universais ou existenciais) não é natural na linguagem quotidiana. Na

matemática, vários registos são utilizados para designar objectos ou suas propriedades. De

facto, os registos simbólicos (números, letras, sinais operacionais) e os registos gráficos (o

desenho em geometria, gráficos cartesianos, tabelas) são articulados com a linguagem

natural (do ponto de vista lexical, mas também do ponto de vista gramatical e sintáctico).

Todos estes registos caracterizam as práticas linguísticas dos matemáticos. Por exemplo,

para falar de linhas rectas paralelas entre si (denotadas pelas letras D e D'), podemos

descrever a situação, dizendo que D e D' são paralelas entre si, caso contrário podemos dizer

que D é paralelo a D' ou mais simplesmente D∥D', no caso de duas linhas perpendiculares

também podemos fazer uma figura codificada do tipo ⊥.

Como os objectos matemáticos são abstractos, as suas definições, propriedades e

provas de tais propriedades têm uma forte dimensão formal. É por isso que uma mistura de

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expressões formalizadas (possivelmente de forma simbólica por escrito, mas também através

do uso normalizado da linguagem) e expressões da linguagem quotidiana é utilizada nas

práticas linguísticas dos matemáticos. Portanto, é extremamente difícil para os estudantes

reconhecer e reconstruir os elementos desta mistura. Sendo assim, existe uma interacção

cognitiva para o estudante entre pensar, trocar, intuir, conjeturar, explorar, elaborar provas,

por um lado, e rigor, formalismo e prova, por outro. Por exemplo, quando pretendemos dizer

que um número é par, há várias maneiras de dizê-lo: "n é par", "n é divisível por 2", "n é um

múltiplo de 2", ou "n está na tabela de multiplicação de 2", ou "2 divide n", ou mesmo "2 é

um divisor de n".

Além disso, uma das principais características dos usos da linguagem matemática

está relacionada com a concisão procurada. Por exemplo, a propriedade "As diagonais de

um paralelogramo se cruzam em seu ponto médio" deve ser reformulada para tornar

explícitas as relações que ela descreve. Deve-se deixar claro que as diagonais de um

paralelogramo têm um ponto de intersecção, que cada uma delas tem um ponto médio e que

o ponto médio de cada diagonal e o ponto de intersecção das diagonais são os mesmos.

Considerações Finais

O presente estudo exploratório destaca as diferentes marcações quanto a lógica e

linguagem na escola. Entendemos que ensinar Matemática é capacitar os actores

educacionais, buscando maneiras de tornar o processo de ensino-aprendizagem mais eficaz.

Dado o papel desempenhado pela linguagem e pela lógica na construção e na transmissão

do conhecimento matemático de acordo com Blanche (1970), Eduscol (2009), Hache (2015),

é importante enfatizá-los. O primeiro contacto do aluno com a língua natural (língua

materna) em matemática é frequentemente considerado como o registo da língua natural de

acordo com a teoria de Raymond Duval de registos de representações semióticas. Aqui, o

aluno, às vezes, encontra certas ambiguidades na transformação da linguagem natural em

linguagem matemática, na manipulação de quantificadores e/ou conectores lógicos de uma

proposta.

Para promover a aprendizagem da Matemática, os alunos devem ser capazes de

verbalizar coerentemente, manipular símbolos e expressões matemáticas adequadamente,

converter informações relevantes de uma declaração de problema e ser capazes de passar de

uma representação de um objecto matemático para outra, que a maioria dos alunos ainda não

aprendeu. A teoria dos registos de representações semióticas (TRRS) de Raymond Duval é

interessante na medida em que pode ser transformado em outro registo de representação.

Nesta operação, o aluno terá que fazer alterações de registos com o mesmo objecto

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matemático, transferindo-o para registos diferentes, o que levará a sua capacidade e

desenvolverá sua compreensão.

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Recebido em 02 de Abril de 2023

Aceite em 09 de Setembro de 2024

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