Jorge Maria Gonçalves Mayer & Daniel Catalayu Passile

Revista Científica do ISCED-Huíla

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Aplicação da Transformada de Laplace na Análise de Circuitos

Eléctricos no Ensino da Física

Application of the Laplace Transform to the Analysis of Electric Circuits in

Physics Teaching

Jorge Maria Gonçalves Mayer

1

Instituto Superior de Ciências de Educação da Huíla

jorge.mayer@isced-huila.ed.ao

Daniel Catalayu Passile

2

Escola do I Ciclo do Ensino Secundário da Arimba

passilek@gmail.com

Resumo

No presente artigo abordamos a aplicação da transformada de Laplace no Processo de

Ensino – Aprendizagem no 4º Ano do Curso de Ensino da Física do ISCED – Huíla para

determinar a corrente eléctrica que flui num circuito, como um método matemático de

resolução mais cómodo de circuitos eléctricos mais complexos, quando as leis de

Kirchhoff apresentam limitações no estudo de alguns circuitos. A transformada de

Laplace aplica-se a qualquer circuito eléctrico independentemente da sua complexidade.

Palavras-chave: Física Matemática, transformada de Laplace, circuitos eléctricos.

Abstract

In this article we discuss the application of the Laplace transform in the Teaching -

Learning Process in the 4th Year of the ISCED Physics Teaching Course - Huíla to

determine the electric current flowing in a circuit, as a more convenient mathematical

method for solving electrical circuits more complex, when Kirchhoff's laws have

limitations in the study of some circuits. The Laplace transform applies to any electrical

circuit regardless of its complexity.

Keywords: Mathematical Physics, Laplace transform, electrical circuits.

Introdução

Todo e qualquer fenómeno físico é uma função do tempo e, cada fenómeno

exige uma expressão matemática própria e adequada para descrever e/ou analisar

o seu comportamento no decorrer do tempo, pois a linguagem da Física é a

1

Doutor em Ciências Pedagógicas, especialidade Física.

2

Licenciado em Ciências da Educação, opção Física

Revista Científica do ISCED Huíla, Lubango, v. 2, n.1, p. 72-84, Jan./ Jun., 2021.

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Matemática. Por exemplo, as Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s) e as

Equações Diferenciais com Derivadas Parciais (EDP’s) descrevem o modo como

certos fenómenos físicos variam com o tempo.

Na unidade curricular Física Matemática, do Curso de Licenciatura em

Ensino da Física, no ISCED-Huíla, temos as equações diferenciais com derivadas

parciais, que constituem equações principais, como a equação do calor ou equação

de Fourier, a equação da onda e a equação de Laplace e nos conteúdos sobre a

Transformada de Laplace.

Os problemas decorrentes do movimento de fluídos, do fluxo de corrente

eléctrica em circuitos, da dissipação de calor em objectos sólidos, da propagação e

detecção de ondas sísmicas, bem como da variação do tamanho de uma

população, entre outros, são exemplos de alguns fenómenos físicos cujo estudo e

descrição exigem vários métodos e procedimentos matemáticos já conhecidos, e

utilizados, principalmente, por físicos, matemáticos e engenheiros (Pacheco, 2011).

Em Física, um mesmo fenómeno pode ser estudado, analisado e/ou

descrito por vários métodos/procedimentos matemáticos no seu tratamento

quantitativo e/ou qualitativo, sobrepondo-se entre si pela limitação e/ou

comodidade que cada método oferece.

Tendo em conta um caso concreto, para estudar, analisar e descrever o

comportamento da tensão e da intensidade da corrente eléctrica num circuito

eléctrico completo menos complexo, principalmente ao nível do Ensino

Fundamental (Ensino Secundário e Profissional) e do Ensino Superior

(licenciatura), são aplicados variados métodos e princípios matemáticos, muitos

destes conhecidos como métodos algébricos, onde, para alguns casos, mais gerais,

se recorre às leis de Kirchhoff, tais como: as leis das malhas e dos nodos.

Quando todos os elementos do circuito eléctrico são função de tempo, quer

dizer, variam no decorrer do tempo, os métodos convencionais tornam-se

limitados, particularmente as leis de Kirchhoff, exigindo uma análise integro-

diferencial do comportamento dos elementos do circuito eléctrico. Desta feita,

muitos autores apontam a Transformada de Laplace como uma das

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ferramentas mais eficazes e eficientes na análise de circuitos eléctricos, quando os

métodos algébricos aplicados nas leis de Kirchhoff, tornam-se limitados, sendo

que a Transformada de Laplace é um método diferencial, “ideal” para o estudo,

análise e descrição de circuitos eléctricos completos mais complexos, pois, torna-se

mais fácil e simples analisá-lo no domínio da frequência , e depois fazer a

transformada inversa para o domínio do tempo .

Este é um assunto tratado no 4.º ano, do curso de Licenciatura em Ensino da

Física, no Instituto Superior de Ciências de Educação (ISCED-Huíla). Todavia,

contrariamente ao que se exige em termos de competências básicas, para

frequentar a cadeira de Física Matemática, está o baixo nível de conhecimento dos

estudantes, concernente às ferramentas matemáticas, de entre outras, a

Transformada de Laplace, necessárias na descrição e compreensão de certos

fenómenos físicos, concretamente na análise de circuitos eléctricos complexos,

neste nível de escolaridade.

Portanto, têm sido vários os esforços empreendidos pelos docentes de Física

Matemática, no Curso de Licenciatura em Ensino da Física do ISCED-Huíla, no

sentido de dotar os estudantes de conhecimentos matemáticos essenciais, como os

de Transformada de Laplace, pois, alguns docentes de Matemática, que leccionam

conteúdos matemáticos no Curso de Licenciatura em Ensino da Física, não tratam

de conteúdos relacionados com a Transformada de Laplace.

Desenvolvimento

A transformada de Laplace é um operador. Na realidade, tal como outros já

existentes.

O método da Transformada de Laplace é um procedimento analítico,

firmando-se como uma importante ferramenta para a resolução de equações

diferenciais, em particular, das equações lineares com coeficientes constantes e dos

correspondentes problemas de valor inicial, pois, permite resolver equações

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diferenciais em forma de equações polinomiais, que, por sua vez, são muito mais

simples de resolver (Silva, 2013).

Definição (Rezende, 2013): dada uma função definida no intervalo

, definimos a sua Transformada de Laplace, denotamos por , na forma:

.

Por definição, a Transformada de Laplace é uma integral imprópria, pois:

, para todo , para o qual

converge, (sendo que uma integral, converge quando o seu limite existe, caso

contrário diverge).

Por definição, a integral imprópria é dada por:

Portanto, a integral imprópria converge quando o

seu limite existe e caso contrário diverge.

O procedimento para a obtenção da solução de um problema, aplicando a

Transformada de Laplace, consiste, basicamente, em três passos, que são (Pacheco,

2011):

1.º Passo: a fim de diminuir o grau de dificuldade do problema e

simplificá-lo, a EDO (Equação Diferencial Ordinária) dada é transformada em

uma equação algébrica (equação subsidiária);

2.º Passo: a equação subsidiária é resolvida através de manipulação

algébrica;

3.º Passo: a solução obtida, através da manipulação, é transformada

novamente, via operador inverso, para se obter a solução do problema.

Figura n.º 1: Operacionalização da transformada de Laplace:

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Fonte: Pacheco (2011), adaptada pelos autores do artigo.

Figura n.º 2: Operacionalização da transformada de Laplace por uma linguagem física

Fonte: Butkov (2013), adoptada pelos autores.

Propriedades da Transformada de Laplace

Na sua obra, Pacheco (2011) apresenta duas propriedades principais,

nomeadamente: linearidade e unicidade.

Apresenta também outras propriedades não menos importantes, como:

i. Propriedade de translação ou deslocamento;

ii. Propriedade da mudança de escala;

iii. Propriedade da derivada de primeira, segunda e n-ésima ordem;

iv. Propriedade da integral;

Com a sua ampla aplicação em variadas situações, nos fenómenos físicos, a

Transformada de Laplace tem tabelado uma gama de funções mais utilizadas,

facilitando a análise e resolução de equações diferenciais com derivadas parciais

de primeira e de segunda ordem, por estas constituídas.

A Transformada de Laplace é um importante método operacional para a

Física Matemática. Apresenta duas vantagens principais sobre os demais

procedimentos:

a) Os problemas são resolvidos mais directamente. Os problemas de valor

inicial são resolvidos sem que seja necessário determinar-se, inicialmente, uma

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solução geral. Adicionalmente, as EDO’s não-homogéneas são resolvidas sem a

necessidade de se obter as correspondentes EDO’s homogéneas.

b) A segunda e, certamente, mais importante vantagem é devido ao uso da

função unitária (função de Heaviside) e do delta de Dirac. Essas ferramentas

tornam esse método particularmente poderoso para problemas nos quais os dados

iniciais (forças motrizes mecânicas ou eléctricas) têm descontinuidades,

representam pequenos impulsos de grande amplitude ou são funções periódicas

mais elaboradas (não apenas senóides e cossenóides).

Vamos analisar um circuito simples que, neste caso, permita-se, considerá-

lo ‘’menos complexo’’, pois a determinação dos parâmetros do circuito pode ser

garantida, aplicando unicamente as leis de Kirchhoff, de modo que estes são

totalmente suficientes para análise deste circuito.

De seguida, apresentamos um circuito modelo, considerado ‘’complexo’’,

no qual todos os parâmetros do circuito são função do tempo, portanto, as leis de

Kirchhoff tornam-se limitadas para a análise do mesmo, sendo imprescindível

uma outra abordagem matemática e, neste caso, a Transformada de Laplace.

Exemplos

Exercício 1: O condensador de um circuito RC, inicialmente, encontra-se

descarregado, portanto, a diferença de potencial através dele é igual a zero,

para . Para este instante, pela lei das malhas de Kirchhoff, a voltagem

através do resistor é igual à fem da bateria . A corrente inicial através do

resistor é dada pela lei de Ohm:

Determinar a carga e a corrente que circula no circuito enquanto o capacitor

se carrega, (figura n.º 3).

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Figura n.º 3: Circuito RC em série

Fonte: Young & Freedman, (2009 pág. 182) adaptada pelos autores do artigo.

Resolução

À medida que o capacitor se carrega, a sua voltagem aumenta aumenta,

enquanto diminui através do resistor, o que corresponde à diminuição da

corrente, portanto, as voltagens instantâneas são dadas por:

Aplicando a lei de Kirchhoff para as malhas (lei das malhas) no circuito,

obtém-se:

Explicitando a intensidade da corrente na expressão (1), tem-se:

No instante , isto é, no instante em que se fecha o interruptor, o

condensador está descarregado e, portanto, . Quando a chave estiver

fechada, a carga sobre o capacitor aumenta com o tempo, enquanto a corrente

diminui.

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À medida que a carga aumenta, o termo torna-se maior a custo da

diminuição da intensidade da corrente , sendo que a carga do capacitor atinge o

seu valor máximo quando . Nesta condição, a equação (2), toma a forma:

Parece que, nesta análise, a corrente dá um salto para o seu valor inicial e

que, por sinal, o seu maior valor, no instante , tão logo que o interruptor do

circuito é fechado, pois em cada tem-se para a carga, o processo

inverso ao da corrente. Portanto, desta análise pode-se deduzir as expressões

gerais da carga e da corrente, em função do tempo.

Sendo que,

Substituindo (4) em (2), vem

Integrando ambos membros da equação (5), fica:

Esta é a expressão da carga do capacitor, num circuito RC.

A corrente instantânea é dada pela derivada da carga em função do

tempo, de acordo com a expressão (4). Portanto,

Uma vez que

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Então a corrente eléctrica, que flui no circuito, é dada por:

Exercício 2: No circuito LRC, em série, mostrado na figura abaixo, o

interruptor S é fechado no instante e aberto quando . Deseja-se achar a

corrente , quando e .

Figura n.º 4: Circuito LRC em série:

Fonte: Butkov, (213), adoptada pelos autores.

Resolução

A lei de Kirchhoff (lei das malhas) exige que

Dadas as condições iniciais, podemos escrever a expressão , na forma:

Do outro lado, pela definição de corrente eléctrica, tem-se que

Neste exemplo, não é possível aplicar as leis de Kirchhoff porque todos os

parâmetros da equação (1) são função do tempo, assim, torna-se imprescindível a

aplicação da transformada de Laplace na determinação da corrente eléctrica que

flui no circuito.

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Aplicando a transformada de Laplace, nas equações diferenciais e ,

fica:

L

Por definição, a transformada da derivada é dada por

Logo, para ambos casos, teremos:

Usando as condições iniciais e em (1’) e (2’), vem

. Substituindo (##) em (#), temos:

. A partir da relação , é válido

escrever:

. Portanto, a partir de

tem-se

Usamos a Transformada de Laplace com o propósito de transformar as

equações (1) e (2) em soma algébrica. Pretendendo determinar a corrente e não

, aplicaremos a operação inversa da transformada ( ).

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Um método muito geral, mas eficiente para calcular a transformada inversa

de uma função , é a decomposição de fracções racionais.

Seja ; sendo e de grau maior , vale escrever:

; com B e C constantes e

Podemos então deduzir que

Logo, nesta linha de pensamento, substituindo (3) em (4), no exercício;

temos:

Ainda podemos escrever esta expressão na forma:

Aplicando a propriedade acima, temos:

sendo

;

E considerando:

Podemos reescrever (5) na forma:

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Não tendo nenhum factor de no numerador, implica que , logo,

Há três casos de soluções possíveis para (7):

a) O caso oscilatório, , a inversa de , será:

b) O caso super amortecido , ou seja, e substituindo por

na fórmula acima, vem:

c) O caso criticamente amortecido, , a transformada será:

De maneira que a corrente eléctrica que flui no circuito é dada por:

Conclusões

A Transformada de Laplace constitui um dos métodos matemáticos mais

confortáveis e integrais na análise e resolução dos circuitos eléctricos complexos;

O domínio da Transformada de Laplace proporciona, aos estudantes do 4.º

ano, do Curso de Licenciatura em Ensino da Física, no ISCED-Huíla, capacidades

de modelar matematicamente determinados fenómenos físicos cujos parâmetros

que os descrevem são todos fenómenos dinâmicos;

É de suma importância que os estudantes do Curso de Licenciatura em

Ensino da Física, no ISCED-Huíla, alarguem e consolidem o seu leque de

conhecimentos matemáticos para o estudo, compreensão, interpretação e

explicação de certos fenómenos físicos.

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Referências bibliográficas

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Mayer, J. (2015). Notas de Aulas de Física Matemática para o 4.º Ano do Curso de

Ensino da Física do ISCED - HUÍLA. Angola.

Pacheco, S, (2011). Transformada de Laplace: Algumas aplicações. Monografia

submetida à Universidade Federal de Santa Catarina para obtenção do grau

de Especialista em Matemática.

Rezende, B, (2013). Notas de Aula do Cálculo III - Definição e cálculo da

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Silva, J, (2013). Notas de Aula: A Transformada de Laplace.

Sodré, U, (2013). Transformadas de Laplace. Notas de aulas para Computação,

Engenharia Eléctrica e Engenharia Civil - material compilado no dia 6 de

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Tonidandel, V & Araújo, A, (2012). Transformada de Laplace: uma obra de

engenharia

Young & Fridman. (2008). Física III. Electromagnetismo. 12.ª Edição.

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Recebido em 05 de Agosto de 2020

Aceite em 07 de Outubro de 2021