Revista Científica do ISCED-Huíla

O tratamento de séries para o asseguramento das somas

de Riemann

The Treatment of Series for the Verification of Riemann Sums

El Tratamiento de Series para el Aseguramiento de las Sumas de Riemann

Boaventura Beleza dos Santos Nolasco¹

Instituto Superior de Ciências da Educação da Huíla, Angola

boaventura.nolasco@isced-huila.edu.ao

Resumo

푛

푖

∑

A abordagem sobre o tratamento das séries da forma _푖=1푥 surge pela necessidade de que os

estudantes do 1º Ano dos cursos em Ensino e Investigação de Matemática, Física e Química do

Instituto Superior de Ciências da Educação da Huíla, têm dificuldades em desenvolvê-la para

푛

∑

assegurar o cálculo de áreas pelas somas de Riemann, 퐴 = lim _푖=1푓(푥_푖)훥푥 e compará-la com

푛→∞

[

]

a área delimitada pela curva 푦 = 푓(푥) e o eixo dos 푋푋, no intervalo 푎, 푏 , designada por;

Maiúscula퐴 = ^ꢀ푓(푥)푑푥 . O objectivo da pesquisa visa elaborar elementos como as séries da

∫

ꢁ

푛

∑

forÉa _푖=1푥 , de garantir o asseguramento do tratamento das somas de Riemann. A pesquisa

é do tipo descritivo, com pendor qualitativo, pelo facto de incidir sobre revisão documental e

exploração de dados informais resultantes da interacção entre docentes e discentes. As

informações garantiram a falta de abordagem do tipo de séries, o que dificulta o tratamento

das somas de Riemann e sua evolução para o Método da Exaustão. Neste contexto, impõe-se

uma Didáctica da Matemática que postula o princípio da sistematicidade lógica e sequencial

푛

푖

∑

de conteúdos onde se pode abordar; i) As somas das séries da form

_푖=1푥 , ii) O cálculo de

áreas pelas somas de Riemann e iii) O Cálculo de áreas pelo método da exaustão. Desta feita, o

artigo faz inicialmente uma abordagem acerca das somas de n primeiros termos de séries;

aritmética, de quadrados de termos, de cubos de termos e assim sucessivamente.

Palavras-chave: Asseguramento, Séries, Somas de Riemann.

Abstract

The approach to the treatment of series of the form arises from the need for students in the 1st

year of the programs in Mathematics, Physics, and Chemistry Education and Research at the

Higher Institute of Educational Sciences of Huíla, who have difficulties in developing it in order

푛

∑

to ensure the calculation of areas by means of Riemann sums, 퐴 = lim _푖=1푓(푥_푖)훥푥ꢂ, and

푛→∞

comparing it with the area bounded by the curve 푦 = 푓(푥) and the 푋푋 axis, in the interval [푎, 푏],

푛

푖

∑

The research aims is to develop elements such as series of the form _푖=1푥 ꢂ, in order to ensure

the treatment of Riemann sums. The research is descriptive, with a qualitative approach, since

it focuses on documentary review and the exploration of informal data resulting from

interaction between teachers and students. The information confirmed the lack of an approach

to this type of series, which makes it difficult to deal with Riemann sums and their evolution

¹Doutor em Geometria Diferencial pela Universidade da Beira Interior. Docente do Instituto Superior de

Ciências da Educação da Huila.

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into the Exhaustion Method. In this context, a Didactics of Mathematics is required that

postulates the principle of logical and sequential systematicity of contents, where the following

푛

∑

may be addressed: i) sums of series of the form _푖=1푥_푖ꢂ, ii) the calculation of areas by Riemann

sums, and iii) the calculation of areas by the method of exhaustion. Thus, the article initially

addresses the sums of the first ꢃn termsof series: arithmetic, squares of terms, cubes of terms,

and so on.^[1]

Keywords: Assurance, Series, Riemann sums.

Resumen

El enfoque sobre el tratamiento de las series de la forma surge por la necesidad de que los

estudiantes del 1.º año de las carreras de Enseñanza e Investigación de Matemática, Física y

Química del Instituto Superior de Ciencias de la Educación de Huíla tengan dificultades para

desarrollarla con el fin de asegurar el cálculo de áreas mediante s sumas de Riemann,É퐴 =

푛

∑

lim _푖=1푓(푥_푖)훥푥ꢂ, y compararla con el área delimitada por la curva 푦 = 푓(푥) y el eje 푋푋, en el

푛→∞

intervalo [푎, 푏], designada por 퐴 = ^ꢀ푓(푥) 푑푥ꢂ. El objetivo de la investigación es elaborar

∫

ꢁ

푛

푖

∑

elementos como las series de la forma _푖=1푥 ꢂ, para garantizar el tratamiento de las sumas de

Riemann. La investigación es de tipo descriptivo, con enfoque cualitativo, por incidir sobre la

revisión documental y la exploración de datos informales resultantes de la interacción entre

docentes y discentes. La información confirmó la falta de abordaje de este tipo de series, lo que

dificulta el tratamiento de las sumas de Riemann y su evolución hacia el Método de

Agotamiento. En este contexto, se impone una Didáctica de la Matemática que postule el

principio de sistematicidad lógica y secuencial de los contenidos, donde se puede abordar: i)

푛

∑

las Émas de series de la forma ₌₁푥_푖ꢂ, ii) el cálculo de áreas mediante las sumas de Riemann y

iii) el cálculo de áreas por el método de agotamiento. De este modo, el artículo aborda

inicialmente las sumas de los primeros ꢃtérminosde series: aritméticas, de cuadrados de

términos, de cubos de términos y así sucesivamente.^[1]

Palabras clave: Aseguramiento, Series, Sumas de Riemann.

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Introdução

Esta secção visa apresentar os elementos do asseguramento do nível de partida na

abordagem do conteúdo, Somas de Riemann, aqueles que vão servir de suporte ao

tratamento das referidas somas.

A preocupação prende-se com o facto de terem sido constatadas dificuldades da parte

dos estudantes em relação ao conhecimento acerca da soma de n primeiros termos de

uma série, partindo de estudos feitos ao nível de sucessões: aritmética, geométrica,

geométrico-aritmética e outras. A nível do ISCED-Huíla, as unidades curriculares de

Análise Matemática I e II são dadas no 1º ano dos cursos de Ensino e Investigação de

Matemática, Física, Informática-Educativa e de Química. Entre os conteúdos

programáticos da disciplina consta o conteúdo programático sobre o “ Cálculo de áreas

pelo Método da Exaustão”.

A questão fundamental da nossa investigação prende-se com o facto de os conteúdos

sobre as somas de Riemann não estarem integrados no programa das cadeiras em

referência, uma vez que constituem um grande suporte ao cálculo de áreas pela

integração.

As somas de Riemann implicam o tratamento de séries para daí deduzir-se o termo

geral da soma de n primeiros termos, para ser aplicado na soma de Riemann. Neste

sentido, consideramos que as somas de Riemann devem servir de base ao cálculo de

áreas. Em termos sequenciais nos programas curriculares, consideramos que o cálculo

de áreas deve ser dado a posteriori às somas de Riemann, pois tem a função de

confirmar o resultado das somas de Riemann.

O tratamento de séries e suas demonstrações constitui uma boa base de asseguramento

do nível de partida para a ministração das somas de Riemann e estas como base no

cálculo de áreas por integração.

Construção de saberes

O processo de ensino e aprendizagem é actualmente caracterizado pelo sistema de

construção de saberes, uma vez que pressupõe a interacção dos intervenientes no

processo docente-educativo, com o intuito de se garantir a transmissão e assimilação

de conhecimento por parte do docente e estudante, respectivamente.

A construção de saberes refere-se ao enfoque de Piaget, citado por Nolasco (2009), que

diz que o conhecimento resulta da simbiose entre a corrente racionalista e a corrente

empirista. Este processo resulta da questão de que os racionalistas julgavam que a

razão por si só produzia conhecimentos e o método da ciência era o dedutivo, enquanto

que os empiristas defendiam o argumento de que o conhecimento era resultado da

experiência e o método da ciência era o indutivo. Destas posições antagónicas, Piaget

investigou pormenorizadamente e chegou a conclusão de que nem a primeira e nem a

segunda, mas sim a fusão das duas correntes; a corrente racionalista e a corrente

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empirista.

O enfoque de Piaget, encoraja o pesquisador a pautar por;

푛

푖

∑

i)

Tratamento de séries da forma _푖=1푥 ,

ii)

Tratamento das somas de Riemann no cálculo de áreas, formadas pela curva

푦 = 푓(푥) e pelo eixo dos XX e

iii)

Tratamento do cálculo de áreas pela integração.

Os itens anteriores manifestam os eixos temáticos que devem ser desenvolvidos desde

as séries, passando pelas somas de Riemann até ao cálculo de áreas pela integração.

Este processo evidencia a construção de conhecimentos que se faz de forma

escalonada.

O estudo de séries, parte do estudo de sucessões cuja disposição de termos é dada por;

푢₁, 푢₂, 푢₃,∙∙∙, 푢_푛−3, 푢_푛−2, 푢_푛, 푢_푛+1, 푢_푛+2, 푢_푛+3,∙∙∙

Esta sucessão de termos infinitos mostra que os estudantes antes de se referirem a ela

devem mostrar o domínio da teoria de conjuntos numéricos (naturais, inteiros,

racionais, irracionais e reais), para terem a noção geral da progressão dos termos, para

além de outras operações envolvidas, no tratamento de sucessões.

De sucessões, pode-se obter a série S, cuja notação é:

푆 = 푢₁+ 푢₂+ 푢₃+∙∙∙ + 푢_푛−3+ 푢_푛−2+ 푢_푛+ 푢_푛+1+ 푢_푛+2+ 푢_푛+3+∙∙∙

A soma anterior também pode ser expressa em;

∞

푆 = 푢₁+ 푢₂+ ∙∙∙ + 푢_푛−2+ 푢_푛+ 푢_푛+1+ 푢_푛+2+∙∙∙= ∑ 푈_푛

푛=1

Por uma questão de orientação pedagógica, é importante referir que em alguns

manuais utiliza-se a notação de índice ꢄ, No somatório, isto é:

∞

푆 = 푢₁+ 푢₂+ ∙∙∙ + 푢_푛−2+ 푢_푛+ 푢_푛+1+ 푢_푛+2+∙∙∙= ∑ 푢_푖

푖=1

Não obstante apenas a soma 푆, é necessário que os alunos tenham o domínio da soma

dos primeiros termos da série, isto é, a soma que vai desde o primeiro termo (푢₁) até

ao n-ésimo termo (푢_푛).) Matematicamente, escreve-se:

푛

푆_푛= 푢₁+ 푢₂+ ∙∙∙ + 푢_푛−2+ 푢_푛= ∑ 푢_푖

푖=1

A soma de n primeiros termos é tão importante porque gera a natureza da soma infinita

de termos (S), se é convergente ou divergente. Para tal, obedece à fórmula;

푀푎ꢄú푠푐푢푙푎 푆 é ꢄ푔푢푎푙 푎 푙ꢄ푚ꢄ푡푒 푐표푚표 ꢃ 푎푡é 푎 ꢄꢃ푓ꢄꢃꢄ푡표 푑푒 푚푎ꢄú푠푐푢푙푎 푆 ꢄꢃ푓푒푟ꢄ표푟 à 푙ꢄꢃℎ푎 ꢃ푆

= lim 푆_푛= 푎

푛→∞

Se for real, a série S é convergente.

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Se for ±∞, a série S é convergente.

Algumas propriedades de séries, para todo e qualquer 푘 ∈ 푁, ꢄ ∈ 푁 푒 ꢃ ∈ 푁:

푛

∑

1)

2)

3)

_푖=1푘 = 푘ꢃ

푛

∑

_푖=1(푎_푖+ 푏_푖) = _푖=1푎_푖+

_푖=1푏_푖

푛

∑

_푖=1(푎_푖− 푏_푖) = _푖=1푎_푖−

_푖=1푏_푖

푛

^푛−1푎_푛

∑

푖=1

∑

4) _푖=1푎_푖= 푎_푛+

Tratamento de algumas séries

O tratamento de séries que levamos a cabo parte dos termos de uma dada sucessão 푈_푛,

cuja soma dos mesmos venha garantir um termo geral da referida soma. Assim, as

sucessões que conduzem às séries, a estudar, são de natureza diversificada onde se

constata sucessões; aritméticas, geométricas, geométrico-aritméticas e outras com

especificidade de tratamento próprio.

Neste contexto, aferem-se as seguintes definições:

Definição 1: Sucessão — é toda a sequência de termos que obedece uma certa ordem

e denota-se por;

푢₁, 푢₂, 푢₃, … , 푢_푛−1, 푢_푛, 푢_푛+1, … (1)

Desta sucessão identifica-se o termo geral ,푢_푛ou seja o termo de ordem n ou ainda o

n-ésimo termo, segundo Nolasco (2019).

Definição 2: Série é a soma infinita de termos de uma dada sucessão, segundo

Nolasco (2019). Denota-se por;

∞

∑

푆 = 푢₁+ 푢₂+ 푢₃+ … + 푢_푛−1+ 푢_푛+ 푢_푛+1+ ⋯ = _푛=1푢_푛

(2)

,Da relação (2), pode-se deduzir a soma de n primeiros termos que se denota por 푆_푛,

que garante a soma desde o primeiro termo 푢₁até ao n-ésimo termo 푢_푛, isto é,

푛

∑

푆 = 푢₁+ 푢₂+ 푢₃+ … + 푢_푛−1+ 푢_푛= _푛=1푢_푛(3)

Séries de diferentes sucessões e suas demonstrações

Pretende-se abordar séries de progressões aritméticas e geométricas, séries

geométrico-aritméticas e outras com especificidade própria.

Definição 3: Série aritmética — é toda a soma infinita de termos de uma

progressão aritmética. Denota-se por:

∞

∑

푆 = 푢₁+ 푢₂+ 푢₃+ … + 푢_푛−1+ 푢_푛+ 푢_푛+1+ ⋯ = _푛=1푢_푛

(4)

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Como a progressão aritmética é dada por disposição de termos em que a diferença

entre um termo qualquer e o seu precedente é constante, a relação (4) toma a forma:

푆 = 푢₁+ (푢₁+ 푟) + (푢₁+ 2푟) + … + (푢₁+ (ꢃ − 2)푟) + (푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + (푢₁+ (ꢃ푟) +

∞

∑

⋯ = _푛=1푢_푛

(5).

Da relação (5), pode-se deduzir que o termo geral da progressão aritmética é:

푢_푛= 푢₁+ (ꢃ − 1)푟, sendo r, a razão da referida progressão.

Tencionando fazer uma restrição para a soma de n primeiros termos, a relação (4)

transforma-se em:

푛

푆_푛= 푢₁+ 푢₂+ 푢₃+ … + 푢_푛−1+ 푢_푛= ∑ 푢_푛

푛=1

Assumindo a forma da relação (5), tem-se:

푛

∑

푆_푛= 푢₁+ (푢₁+ 푟) + (푢₁+ 2푟) + … + (푢₁+ (ꢃ − 2)푟) + (푢₁+ (ꢃ − 1)푟) = _푛=1푢_푛(6).

Da relação (6), se pode demonstrar que a soma de n primeiros termos de uma

progressão aritmética é:

(

)

ꢃ

푢₁+ 푢_푛

푆_푛=

2

Sendo a relação (6) da soma de n primeiros termos da progressão aritmética tem-se;

푆_푛= 푢₁+ (푢₁+ 푟) + (푢₁+ 2푟) + … + (푢₁+ (ꢃ − 3)푟)+(푢₁+ (ꢃ − 2)푟) + (푢₁+ (ꢃ −

1)푟)

(7)

Invertendo a ordem das parcelas da relação anterior, vem:

(

)

푆_푛= (푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + (푢₁+ (ꢃ − 2)푟) + (푢₁+ (ꢃ − 3)푟) … + (푢₁+ 2푟) + 푢₁+ 푟 + 푢₁

(8)

Procedendo a soma de (7) e (8) vem:

[

]

[

(

)]

[

푆_푛+ 푆_푛= (푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + 푢₁+ (푢₁+ (ꢃ − 2)푟) + 푢₁+ 푟 + (푢₁+ (ꢃ − 3)푟) + 푢₁+

]

[

]

2푟 + . . . + (푢₁+ (ꢃ − 3)푟) + 푢₁+ 2푟 + ⌈(푢₁+ (ꢃ − 2)푟) + 푢₁+ 푟⌉ + ⌈(푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + 푢₁⌉.

É sabido que a soma de termos equidistantes é igual à soma dos extremos na

progressão aritmética.

2푆_푛= (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + . . . + (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟)

+ (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟) + (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟)

Como se tem n parcelas de (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟), a soma anterior toma a forma:

(2푢₁+ (ꢃ − 1)푟)ꢃ

2푆_푛= (2푢₁+ (ꢃ − 1)푟)ꢃ ⇒ 푆_푛=

2

(

)

(

)

Sabendo que 푢_푛= 푢₁+ ꢃ − 1 푟 ⟹ ꢃ − 1 푟 = 푢_푛− 푢₁, a relação anterior escreve-se:

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(

)

ꢃ

푢₁+ 푢_푛

푆_푛=

(9)

2

Como se pretendía demostrar.

das parcelas convertidas em produtos de dois factores, os primeiros factores estão em

progressão aritmética, de termo geral ꢃ, e os segundos factores estão em progressão

geométrica de termo geral 푞^푛.

푛

푖=1

푥^푖

∑

ApresentaçÉ de séries na forma

Parte-se da série aritmética;

∞

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ + ⋯ = ∑ ꢃ

푛=1

A soma de n primeiros termos calcula-se pela fórmula ;

(

)

ꢃ

푢₁+ 푢_푛

ꢃ(1 + ꢃ)

푆_푛=

=

2

Desta feita confirma-se o resultado obtido.

2

∞

2

∑

a) 푆 = 1 + 2 + 3 + … + ꢃ + ⋯ = _푛=1ꢃ .

Segundo Cardoso, Szymánski & Rostami (2009), tem-se:

푠₁= 1

푠₂= 5

푠₃= 14

……………

……………..

…………….

푆_푛= 1²+ 2²+ 3²+ … + ꢃ²

Multiplicando as três primeiras somas parciais por 6, vem:

6푠₁= 6 = 1.2.3

6푠₂= 30 = 2.3.5

6푠₃= 84 = 3.4.7

……………

……………..

…………….

퐼ꢃ푓푒푟ꢄ표푟6푆_푛= ꢃ. (ꢃ + 1)(2ꢃ + 1)

Das primeiras somas parciais multiplicadas por 6, os produtos de três factores são tais

que os primeiros factores estão em progressão aritmética de termo geral ꢃ, os segundos

factores estão em progressão aritmética de termo geral ꢃ + 1 e os terceiros factores

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estão em progressão aritmética de termo geral 2ꢃ + 1, segundo Cardoso, Szymánski &

Rostami (2009). Este processo justifica o produto de 6 pela soma de n primeiros

termos que se consubstancia por:

1

(

)(

)

(

)( )

퐼ꢃ푓푒푟ꢄ표푟6푆_푛= ꢃ. ꢃ + 1 2ꢃ + 1 ⇒ 푆_푛=

ꢃ. ꢃ + 1 2ꢃ + 1

6

3

∞

3

∑

b) 푆 = 1 + 2 + 3 + … + ꢃ + ⋯ = _푛=1ꢃ

A soma de n primeiros termos vai ser obtida pelas somas parciais,

푠₁= 1 = 1²

푠₂= 9 = 3²

푠₃= 36 = 6²

……………

……………..

…………….

푆_푛= 1³+ 2³+ 3³+ … + ꢃ³

Sendo as somas parciais, os quadrados das somas parciais de

∞

∑

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ + ⋯ =

_푛=1ꢃ ,

cuja soma, de n primeiros termos é ;

(

)

푛

ꢅ +ꢅ

푛(1+푛)

.

2

1

ꢆ

푆_푛=

=

2

A referida soma de n primeiros termos assume a condição,( Cardoso, Szymánski &

Rostami;2009);

2

푆_푛= 1³+ 2³+ 3³+ … + ꢃ³= [^푛(1+푛)] =

,

푛 (푛+1)

2

4

∞

4

∑

c) 푆_푛= 1 + 2 + 3 + … + ꢃ + ⋯ = _푛=1ꢃ

Desta série, a soma de n primeiros termos é dada por (Leithold, 1994).

3

2

(

)

ꢃ ꢃ + 1 (6ꢃ + 9ꢃ + ꢃ − 1)

푆_푛= 1⁴+ 2⁴+ 3⁴+ … + ꢃ⁴=

30

Outras formas de demonstrações de somas de n primeiros termos de potências

1)Demonstração da soma de n primeiros termos de números naturais

푆_푛= 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ

Partamos de potências de expoente dois, na segunda parcela.

2

= 1²+ 2.1.1 + 1

(

1 + 1

)

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2

= 2²+ 2.2.1 + 1

(

2 + 1

)

2

= 3²+ 2.3.1 + 1

= 4²+ 2.4.1 + 1

⋮

(

)

3 + 1

(

4 + 1

2

ꢃ + 1

= ꢃ²+ 2. ꢃ. 1 + 1

(

)

Somando membro a membro vem:

2

(

)

(

)

2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ + ꢃ + 1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ

+

+ 2(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ) + (1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1)

Simplificando os termos do Membro Esquerdo com os da primeira parcela do Membro

Direito, vem:

2

(

)

2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ + ꢃ + 1 −1 − 2 − 3 − 4 − ⋯ − ꢃ =

+ 2푆_푛+ (1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1)

Sendo; 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ = 2푆_푛푒 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 = ꢃ

ꢃ + 1 ²− 1 = 2푆_푛+ ꢃ

(

)

ꢃ²+ 2ꢃ + 1 − 1 − ꢃ = 2푆_푛

1

푆_푛= ꢃ(ꢃ + 1)

2

Demonstração da soma de n primeiros termos quadrados

푆_푛= 1²+ 2²+ 3²+ 4²+ ⋯ + ꢃ²

Partamos de potências de expoente três, na segunda parcela.

3

2

3

= 1 + 3. 1 . 1 + 3.1.1 + 1 2 + 1

= 2³+ 3. 2². 1 + 3.2.1 + 1

(

1 + 1

)

(

)

3

(

)

2 + 1

3 + 1

(

= 2³+ 3. 2². 1 + 3.2.1 + 1

3

= 3³+ 3. 3². 1 + 3.3.1 + 1

(

)

3

= 4³+ 3. 4². 1 + 3.4.1 + 1

)

퐴푏푟푒 4 + 1

⋮

3

(

)

ꢃ + 1

= ꢃ³+ 3. ꢃ². 1 + 3. ꢃ. 1 + 1

Somando membro a membro vem:

3

(

)

(

)

2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ + ꢃ + 1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ

+

+ 3(1²+ 2²+ 3²+ 4²+ ⋯ + ꢃ²) + 3(1 + 2 + 3 + … + ꢃ) + (1 + 1 + 1 + … + 1)

Passando a primeira parcela para o membro esquerdo e sendo,

푆_푛= 1²+ 2²+ 3²+ 4²+ ⋯ + ꢃ²

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vem:

3

(

)

(

)

ꢃ + 1

= 1 + 3푆_푛+ ꢃ ꢃ + 1 + ꢃ

2

Multiplicando a relação anterior por 2, vem:

3

(

)

(

)

2(ꢃ + 1) = 2 + 6푆_푛+ 3ꢃ ꢃ + 1 + 2ꢃ2(ꢃ + 1) = 6푆_푛+ 3ꢃ ꢃ + 1 + 2(ꢃ + 1)

3

(

)

2(ꢃ + 1) = 6푆_푛+ ꢃ + 1 (3ꢃ + 2)

3

(

)

6푆_푛= 2(ꢃ + 1) − ꢃ + 1 (3ꢃ + 2)

6푆_푛= (ꢃ + 1)(2ꢃ²+ 4ꢃ + 2 − 3ꢃ − 2)

1

푆_푛= ꢃ(ꢃ + 1)(2ꢃ + 1)

6

Demonstração da soma de n primeiros termos ao cubo

푆_푛= 1³+ 2³+ 3³+ 4³+ ⋯ + ꢃ³

Partamos de potências de expoente quatro, na segunda parcela.

4

6,1 1 + 1

= 1⁴+ 4. 1³. 1 + 6. 1². 1 + 4.1.1 + 1

= 2⁴+ 4. 2³. 1 + 6. 2². 1 + 4.2.1 + 1

= 3⁴+ 4. 3³. 1 + 6. 3². 1 + 4.3.1 + 1

= 4⁴+ 4. 4³. 1 + 6. 4². 1 + 4.4.1 + 1

⋮

(

)

4

(

6,2 2 + 1

(

6,3 3 + 1

(

6,4 4 + 1

4

(

)

ꢃ + 1

= ꢃ⁴+ 4. ꢃ³. 1 + 6. ꢃ². 1 + 4ꢃ. 1 + 1

Somando membro a membro e passando a primeira parcela do membro direito para o

esquerdo, vem:

ꢃ + 1 ⁴− 1 = 4푆_푛+ ꢃ(ꢃ + 1)(2ꢃ + 1) + + 2ꢃ(ꢃ + 1) + ꢃ

Tendo em consideração que;

(

)

1

푆_푛= 1²+ 2²+ 3²+ 4²+ ⋯ + ꢃ²= ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1

(

)(

)

6

vem:

4

(

)

(

)(

)

ꢃ + 1

− 1 − ꢃ − ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1 − 2ꢃ(ꢃ + 1) = 4푆_푛

4

(

)

(

)(

)

ꢃ + 1

− (ꢃ + 1) − ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1 − 2ꢃ(ꢃ + 1) = 4푆_푛

3

[

(

)

]

(ꢃ + 1) (ꢃ + 1) − ꢃ 2ꢃ + 1 − 2ꢃ − 1

푆_푛=

4

2

[

(

)]

(ꢃ + 1) (ꢃ + 1) − 2ꢃ + 1

푆_푛=

4

ꢃ²(ꢃ + 1)²

푆_푛=

4

Demonstração da soma de n primeiros termos de potências de expoente quatro

푆_푛= 1⁴+ 2⁴+ 3⁴+ 4⁴+ ⋯ + ꢃ⁴

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70

Revista Científica do ISCED-Huíla

Partamos de potências de expoente cinco,

5

= 1⁵+ 5. 1⁴. 1 + 10. 1³. 1 + 10. 1². 1 + 5.1.1 + 1

(

)

10,1 1 + 1

5

(

)

2 + 1

3 + 1

4 + 1

= 2⁵+ 5. 2⁴. 1 + 10. 2³. 1 + 10. 2². 1 + 5.2.1 + 1

5

= 3⁵+ 5. 3⁴. 1 + 10. 3³. 1 + 10. 3². 1 + 5.3.1 + 1

= 4⁵+ 5. 4⁴. 1 + 10. 4³. 1 + 10. 4². 1 + 5.4.1 + 1

⋮

5

= ꢃ⁵+ 5. ꢃ⁴. 1 + 10. ꢃ³. 1 + 10ꢃ². 1 + 5. ꢃ. 1 + 1

(

ꢃ + 1

)

Passando a primeira parcela do membro direito para o esquerdo vem:

5

(

)

(

)

2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ + ꢃ + 1

= 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + ꢃ

+ 5푆_푛+

3

2

(

)

(

)

(

)

10 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ

+ 10 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ

+ 5 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ + (1 + 1 + 1

+ ⋯ + 1)

5

= 1 + 5푆_푛+ ꢃ²(ꢃ + 1)²+ ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1 + ꢃ ꢃ + 1 + ꢃ

(

ꢃ + 1

)

(

)(

)

(

)

2

3

2

5

2

(

)

(

)(

)

(

)

6 ꢃ + 1

= 6 + 30푆_푛+ 15ꢃ (ꢃ + 1) + 10ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1 + 15ꢃ ꢃ + 1 + 6ꢃ

5

2

(

)

[

(

)

(

)

]

30푆_푛= 6 ꢃ + 1

− (ꢃ + 1) 15ꢃ ꢃ + 1 + 10ꢃ 2ꢃ + 1 + 15ꢃ + 6

4

3

2

[ (

)

]

− (15ꢃ + 15ꢃ + 20ꢃ + 10ꢃ + 15ꢃ + 6)

30푆_푛= (ꢃ + 1) 6 ꢃ + 1

4

3

2

3

2

[

]

30푆_푛= (ꢃ + 1) 6ꢃ + 24ꢃ + 36ꢃ + 24ꢃ + 6 − 15ꢃ − 35ꢃ − 25ꢃ − 6

1

푆_푛=

ꢃ(ꢃ + 1)(6ꢃ³+ 9ꢃ²+ ꢃ − 1)

30

Assim , sucessivamente o processo segue para outras potências de expoentes maiores que

quatro.

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71

Revista Científica do ISCED-Huíla

Somas de Riemann

Para se efectuar as somas de Riemann, no cálculo de áreas, deve-se ter de antemão a

noção de partição de um dado intervalo, a noção de resolução de limites pelo facto de

que, se a partição do intervalo for feita por número n suficientemente grande, com n

até a infinito, aplica-se a noção do limite.

[

]

O processo de partição do intervalo 푎, 푏 por ꢃ subintervalos iguais garante um

conjunto de rectângulos abaixo da curva ou acima da cuFecha) com o eixo dos 푋푋 ,

tendo cada rectângulo por base ∆푥 푒 푎푙푡푢푟푎 푓(푥_푖), perfazendo uma área de; ∆푥. 푓(푥_푖).

A soma das áreas dos referidos rectângulos por baixo da curva ou acima de 푦 = 푓(푥),

[

]

no intervalo 푎, 푏 , converge a área formada pela curva e pelo eixo dos 푋푋 no referido

intervalo, isto é, a área resultante dos rectângulos pode ser maior ou menor, conforme

se encontre um pouco acima ou abaixo da curva, respectivamente. Neste sentido, a área

é aproximada da curva.

Para se visualizar a área formada pelos rectângulos, apresenta-se o gráfico abaixo,

[

]

manifestando a área formada pela curva 푦 = 푓(푥), pelo eixo dos,푋푋, no intervalo 푎, 푏 .

menos 1 fim de inferior à linha, x inferior à linha i, fecha parêntese reto .

[

]

Então,, abre Definição 5: Suponha que a função seja contínua no intervalo 푎, 푏

[

]

com 푓(푥) ≥ 0 para todo 푥 ∈ 푎, 푏 e seja 푅 a região limitada pela curva 푓(푥) e pelo eixo

[

]

dos 푋푋 e as rectas 푥 = 푎 푒 푥 = 푏. Do intervalo 푎, 푏 , particione-se em ꢃ subintervalos

ꢀ−ꢁ

[

]

iguais de comprimento ∆푥 =

. Denote-se o i-ésimo subintervalo por 푥_푖−1, 푥_푖. Então

푛

a medida da área da região R é dada por:

푛

∑

( )

퐴 = lim

푛→∞

_푖=1푓 푥_푖∆푥 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥, segundo Leithold (1994).

Da definição quando se conhece numericamente o valor de n dada uma região limitada

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72

Revista Científica do ISCED-Huíla

( )

[

]

p,l curva 푦 = 푓 푥 em 푎, 푏 , pode-se de imediato se calcular a soma de Riemann sem

passar por limite.

( )

[

]

Por exemplo: 1- Dada a relimitada por 푓 푥 = 1 푒푚 0,2 , ꢃ = 4 e pelo eixo dos 푋푋,

determine a soma de Riemann.

Figura 3: Divisões da área em 4 rectângulos.

4

∑

A

área

é

determinada

da

seguinte

forma;

퐴 = _푖=1푅_푖= 푅₁+ 푅₂+ 푅₃+

2−0

1

2

( )

푅₄푀푎ꢄú푠푐푢푙푎푅_푖= 푓 푥_푖. ∆푥, ∆푥 =

( )

, 푥_푖= 0 + ꢄ∆푥 푒 푓 푥_푖= 1

=

4

1

2

1

2

1

푒 푅₄= 1. =

2

1

2

푅₁= 1. =

, 푅₂= 1. = , 푅₃= 1. =

2

4

2

1

2

1

2

퐴 = 푅 = ∑ 푅_푖=

+ + +

= 2푢²(푢²: 푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎)

2

푖=1

Pela integração ter-se-ia:

2

( )²

푅 = ∫ 1푑푥 = 푥

= 2푢²

0

A resolução pela integração confirma a soma de Riemann.

2-Determine a área, pela soma de Riemann, limitada por;

( )

[

]

푓 푥 = 푥 + 1 ꢃ표 ꢄꢃ푡푒푟푣푎푙표 1,2 .

2−1

푛

1

Os subintervalos, em pontos 푥_푖, são dados pelo tamanho: ∆푥 =

= _푛, 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥 =

푖

2푛+푖

푛

1 + _푛= ^푛+푖, 푓 (^푛+푖) = ^푛+푖+ 1 =

.

푛

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73

Revista Científica do ISCED-Huíla

푖

^2푛+푖) . _푛=

푛

푖=1

∑

( )

∑

푛

Assim área é dada por: 퐴 = lim

_푖=1푓 푥_푖∆푥 = lim

(

푛

푛→∞

푛

(

)

∑ 2ꢃ + ꢄ = (∑ 2ꢃ + ∑ ꢄ )

푖=1 푖=1 푖=1

푛

2

(

)

∑ 2ꢃ = 2ꢃ ∑ 1 = 2ꢃ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 = 2ꢃ

푖=1 푖=1

푛

1

2

푆표푚푎푆표푚푎 ∑ ꢄ = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ =

ꢃ. (ꢃ + 1)

푖=1

ꢃ

[2ꢃ ∑ 1 + (1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ) ]

ꢄ=1

[

]

(1 + 1 + 1 + ⋯ + 1) + (1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ)

푛

(

)

ꢃ + 1 ꢃ

5ꢃ²+ ꢃ

2

(

)

∑ 2ꢃ + ꢄ = [2ꢃ +

] =

2

푖=1

푛

2ꢃ + ꢄ

ꢄ

( )

퐴 = lim ∑ 푓 푥_푖∆푥 = lim ∑ (

) .

푛→∞

ꢃ

푖=1

5ꢃ²+ ꢃ

5

퐴 = lim

=

푢²

2ꢃ²

2

푛→∞

Pela resolução via integral tem-se:

2

푥²

1

3

2

5

퐴 = ∫ (푥 + 1) 푑푥 = (

+ 푥)₁²= 2 + 2 − − 1 = 4 −

=

푢²

2

1

Assim, vê-se o confirmar de operações.

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74

Revista Científica do ISCED-Huíla

[

]

Figura 4: Gráfico da ára limitada por 푦 = 0, 푦 = 푥 + 1, 푒푚 1,2 .

Desta feita, acede-se a um conjunto de exercícios, pelas somas de Riemann, nos

intervalos expressos com as suas respectivas linhas de limitação que fazem as regiões.

Determine as somas de Riemann, delineadas pelas regiões abaixo nos seus respectivos

intervalos:

2

( )

[

]

[

]

a)푓 푥 = 푥 , 1, 2 e pelo eixo dos XX em 1,2

3

( )

[

]

[

]

b) 푓 푥 = 푥 , 1, 2 e pelo eixo dos XX em 1,2

4

( )

[

]

[

]

)푓 푥 = 푥 , 1, 2 e pelo eixo dos XX em 1,2

2−1

푛

1

푖

푛+푖

푛

Para a) vem: ∆푥 =

= _푛, 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥 = 1 + _푛=

ꢃ + ꢄ

ꢃ²+ 2ꢄꢃ + ꢄ²

푓 (

) =

ꢃ

ꢃ²

푛

ꢃ²+ 2ꢄꢃ + ꢄ²

1

ꢃ³

퐴 = ∑

∙

=

∑(ꢃ²+ 2ꢄꢃ + ꢄ²)

ꢃ²

ꢃ

푖=1

푛

1

ꢃ³

1

ꢃ³

∑(ꢃ²+ 2ꢄꢃ + ꢄ²) =

(ꢃ²∑ 1 + 2ꢃ ∑ ꢄ + ∑ ꢄ²)

푖=1

푛

1

ꢃ³

[( ꢃ²∑ 1 + 2ꢃ ∑ ꢄ + ∑ ꢄ²)]

푖=1

1

ꢃ³

2

[

(

)

(

)

(

²)]

ꢃ 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 + 2ꢃ 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ + 1 + 2 + 3 + ⋯ ꢃ

e-se que; 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 = ꢃ, 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ=^푛(푛+1)

e 1²+ 2²+ 3²+ ⋯ ꢃ²=

2

1

푛(푛+1)

2

1

₆ꢃ ꢃ + 1 (2ꢃ + 1) _푛₃[ ꢃ². ꢃ + 2ꢃ ∙

+ ₆ꢃ ꢃ + 1 (2ꢃ + 1)]

(

)

(

)

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ꢃ³+ ꢃ²

2ꢃ³+ 3ꢃ²+ ꢃ

1

3

7

퐴 = lim [1 +

푛→∞

+

] = 1 + 1 +

=

푢²

ꢃ³

6ꢃ³

3

Pela integração vem:

2

푥³

8

1

3

7

퐴 = ∫ 푥²푑푥 = (

)₁²=

−

=

푢²

3

1

2

[

]

Figura 5: Gráfico da área limitada por 푦 = 0 푒 푦 = 푥 푒푚 1,2 .

2−1

푛

1

푖

푛+푖

푛

Para b) vem: ∆푥 =

= _푛, 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥 = 1 + _푛=

ꢃ + ꢄ

ꢃ³+ 3ꢄꢃ²+ 3ꢄ²ꢃ + ꢄ³

푓 (

) =

ꢃ

푛

ꢃ³

푛

1

ꢃ⁴

[ꢃ³∑ 1 + 3ꢃ²∑ ꢄ + 3ꢃ ∑ ꢄ²+ ∑ ꢄ³]

푖=1

Parcialmente têm-se as seguintes resoluções:

푛

∑ 1 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1 = ꢃ

푖=1

푛

ꢃ(ꢃ + 1)

∑ ꢄ = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ꢃ =

2

푖=1

푛

1

∑ ꢄ²= 1²+ 2²+ 3²+ ⋯ ꢃ²=

ꢃ ꢃ + 1 (2ꢃ + 1)

(

)

6

푖=1

푛

ꢃ²(ꢃ + 1)²

∑ ꢄ³= 1³+ 2³+ 3³+ ⋯ ꢃ³=

4

푖=1

1

ꢃ⁴

ꢃ(ꢃ + 1)

1

ꢃ²(ꢃ + 1)²

[ꢃ³. ꢃ + 3ꢃ²∙

+ 3ꢃ. ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1 +

]

(

)(

)

2

6

4

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1

3ꢃ⁴+ 3ꢃ³

2ꢃ⁴+ 3ꢃ³+ ꢃ²

ꢃ⁴+ 2ꢃ³+ ꢃ²

퐴 = lim

푛→∞

[ꢃ⁴+

+

]

4

ꢃ

2

3

2

4

1

15

É = 1 + + 1 +

=

푢²

2

4

Pela integração vem:

4

퐴 = ²푥³푑푥 = (^ꢇ)₁²= ¹⁶− ¹₄= ¹⁵푢².

∫

1

4

3

[

]

Figua 6: Gráfico da área limitada por 푦 = 0 푒 푦 = 푥 푒푚 1,2 .

2−1

푛

1

푖

푛+푖

푛

Para c) vem: ∆푥 =

= _푛, 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥 = 1 + _푛=

ꢃ + ꢄ

ꢃ⁴+ 4ꢄꢃ³+ 6ꢃ²ꢄ²+ 4ꢄ³ꢃ + ꢄ⁴

푓 (

) =

ꢃ

푛

ꢃ⁴

ꢃ⁴+ 4ꢄꢃ³+ 6ꢃ²ꢄ²+ 4ꢄ³ꢃ + ꢄ⁴

1

퐴 = lim ∑

∙

=

ꢃ⁴

ꢃ

푛→∞

푖=1

푛

1

퐴 = lim ₅∑(ꢃ⁴+ 4ꢄꢃ³+ 6ꢃ²ꢄ²+ 4ꢄ³ꢃ + ꢄ⁴)

푛→∞

ꢃ

푖=1

Fazendo as somas parciais, vem:

푛

∑ 1 + 4ꢃ³∑ ꢄ + 6ꢃ²∑ ꢄ²+ 4ꢃ ∑ ꢄ³+ ∑ ꢄ⁴)

푖=1

푛

ꢃ(ꢃ + 1)

∑ ꢄ =

2

푖=1

푛

1

∑ ꢄ²=

ꢃ ꢃ + 1 (2ꢃ + 1)

(

)

6

푖=1

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77

Revista Científica do ISCED-Huíla

푛

ꢃ²(ꢃ + 1)²

∑ ꢄ³=

4

푖=1

푛

3

2

(

)

ꢃ ꢃ + 1 (6ꢃ + 9ꢃ + ꢃ − 1)

∑ ꢄ⁴= 1⁴+ 2⁴+ 3⁴+ ⋯ + ꢃ⁴=

30

푖=1

푛

1

퐴 = lim ₅∑(ꢃ⁴+ 4ꢄꢃ³+ 6ꢃ²ꢄ²+ 4ꢄ³ꢃ + ꢄ⁴)

푛→∞

ꢃ

푖=1

1

31

퐴 = 1 + 2 + 2 + 1 +

=

푢²

5

2

5

Por via de integração tem-se: A= ²푥⁴푑푥 = (^ꢇ₅) = ³²− ¹₅= ³¹푢².

∫

1

5

1

4

[

]

Figura 7ráfico da área limitada por 푦 = 0 푒 푦 = 푥 푒푚 1,2 .

A seguir, vai-se garantir o tratamento de regiões limitadas não necessariamente, pela

( ) ( )

curva 푦 = 푓(푥) e pelo eixo dos 푋푋 mas sim, pelas curvas 푦 = 푓 푥 푒 푦 = 푔 푥

no

[

]

intervalo 푎, 푏 . Desta maneira, segue-se a ordem dos exercícios anteriores, achando as

soma de Riemann limitadas pelas condições expressas:

2

( )

d) 푓 푥 = 1, 푔 푥 = 푥

2

( )

e) 푓 푥 ≤ 푥 + 1, 푔 푥 ≥ 푥 푒 ℎ 푥 ≤ 1 − 푥

Para d) tem-se o gráfico:

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78

Revista Científica do ISCED-Huíla

Figura 8: gráfico de área limitada por 푦 = 1 푒 푦 = 푥².

1+1

푛

2

2푖−푛

푛

Para d) vem: ∆푥 =

= , 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥 = −1 + ^2푖

=

푛

( )

Quanto à função 푓 푥 = 1, tem-se:

2ꢄ − ꢃ

푓 (

) = 1

ꢃ

2ꢄ − ꢃ

4ꢄ²− 4ꢄꢃ + ꢃ²

푔 (

) =

ꢃ

ꢃ²

( )

Como a área é limitada superiormente pela recta 푓 푥 = 1 e inferiormente pela curva

2

( )

푔 푥 = 푥 , no intervalo obtido por:

y=1

⇒ 푥²= 1 ⇒ 푥 = ±1

푦 = 푥²

(

)

Deste sistema obteve-se dois pontos −1,1 푒 (1,1), o intervalo da área que se pretende

[

]

calcular é; −1,1 .

Assim, pelas somas de Riemann, a área limitada por duas curvas vem expressa:

푛

( )

푀푎ꢄú푠푐푢푙푎퐴 = lim (∑ 푓(푥_푖)∆푥 − ∑ 푔 푥_푖. ∆푥)

푛→∞

푖=1

푛

2

4ꢄ²− 4ꢄꢃ + ꢃ²

2

∙ )

ꢃ

퐴 = lim (∑ 1 . − ∑

ꢃ²

푛→∞

ꢃ

푖=1

8

4

퐴 = 2 − + 4 − 2 =

푢²(푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎)

3

Pelo processo de integração vem;

1

푥³

1

3

4

1

−1

퐴 = ∫ (1 − 푥²) 푑푥 = (푥 −

)

= 1 − + 1 −

3

=

푢²(푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎)

3

−1

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Assim confirma-se o resultado.

Para e), tem-se o gráfico:

2

( )

Figura 9: Gráfico da área limitada pelas regiões 푓 푥 ≤ 푥 + 1, 푔 푥 ≥ 푥 푒 ℎ 푥 ≤ 1 −

푥

Deve-se, de imediato, determinar os pontos de interseção entre as funções, tal como se

apresentam os sistemas.

( )

푓 푥 = 푥 + 1

( )

ℎ 푥 = 1 − 푥

푓 푥 = 푥 + 1

I)

,

II)

e III)

ℎ 푥 = 1 − 푥

2

( )

푔 푥 = 푥

( )

푔 푥 = 푥

Resolvendo o primeiro sistema (I), tem-se:

1 ± 5

√

푥²− 푥 − 1 = 0 ⇒ ∆ = 5,

푥_1,

=

∙

2

1− 5

3− 5

√

Para 푥₁=

, 푦 =

.

2

1− 5

√

De acordo com a figura 9, no segundo quadrante 푥₁=

. Como a área é limitada

2

superiormente por duas curvas diferentes, recorremos ao sistema II) para determinar

o valor de x na intersecção entre elas:

푥 + 1 = 1 − 푥 ⇒ 2푥 = 0 ⇒ 푥 = 0 푒 푦 = 1

Também, resolve-se já o sistema III) 푥²= 1 − 푥 ⇒ 푥²+ 푥 − 1 = 0 ⇒ ∆ = 5, 푥_1,

=

2

−1± 5

√

.

2

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5 − 1

5−1

3− 5

√

Como o valor de x é do primeiro quadrante vem: 푥₂= ^√

푒 푦 = 1 − ^√

=

.

2

Assim, deve-se fragmentar o domínio: [^{1− 5}

,

⁵⁻¹] = [^{1− 5}, 0] ∪ [0 , ⁵⁻¹].

√

2

Analisa-se o cálculo das somas de Riemann parcialmente, para o primeiro caso vem o

intervalo; [^{1− 5}, 0].

√

2

1− 5

∆푥 = ^√⁵⁻¹, 푥_푖= 푎 + ꢄ∆푥 =

+

⁵⁻¹ꢄ

2푛

√

2푛

2

1 − 5

5 − 1

3 − 5

5 − 1

√

( )

푓 푥_푖=

+

ꢄ + 1 =

+

ꢄ

2

2ꢃ

2

2ꢃ

2

1 − 5

5 − 1

1 − 5

5 − 1

√

( )

푔 푥_푖= (

+

ꢄ) = (

) + 2 (

) . (

ꢄ) + (

ꢄ)

2

2ꢃ

2

2ꢃ

6 − 2 5

√

− 2 ∙

ꢄ +

ꢄ²

( )

푔 푥_푖=

4

4ꢃ

4ꢃ²

3 − 5

2 5 − 6

3 − 5

2ꢃ²

√

+

ꢄ +

ꢄ²

( )

푔 푥_푖=

2

2ꢃ

As somas de Riemann são dadas pela seguinte fórmula:

푛

É푀푎ꢄú푠푐푢푙푎퐴 = (∑ 푓(푥_푖). ∆푥 − ∑ 푔(푥_푖). ∆푥)

푖=1 푖=1

Dada a extensividade das somas, entende-se fazê-las parcialmente:

푛

1 − 5

5 − 1

√

푀푎ꢄú푠푐푢푙푎퐴₁= lim [∑ (

+

ꢄ + 1) .

]

푛→∞

푖=1

2

2ꢃ

4 5 − 8 + 3 − 5

√

É =

4

3 5 − 5

√

퐼ꢃ푓푒푟ꢄ표푟퐴₁=

4

푛

3 − 5

2 5 − 6

3 − 5

2ꢃ²

5 − 1

√

퐴₂= lim [∑ (

+

ꢄ +

ꢄ²) .

]

푛→∞

푖=1

2

2ꢃ

16 − 8 5

4 5 − 8

5 − 2

√

퐼ꢃ푓푒푟ꢄ표푟퐴₂=

+

=

8

12

3

Portanto, estabelece-se a diferença entre as duas somas de Riemann para se obter a

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soma resultante:

3 5 − 5

5 − 2

5 5 − 7

√

퐴 = 퐴₁− 퐴₂=

−

=

푢²

4

3

12

Pela integração, tem-se:

0

1 − 2 5 + 5

1 − 5

1 − 3 5 + 15 − 5 5

√

2

(

)

퐴 = ∫

푥 + 1 − 푥

푑푥 = −

+

1− 5

2

√

8

2

24

5 5 − 7

√

=

푢²(푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎)

12

, numerador , raiz quadrada de 5 menos 1, fim de numerador , sobre 2,do intervalo

[0 , ⁵⁻¹] tem-se:

√

2

, 푥 , 푓ꢄ푚 푑푒 푏푎푠푒 , ꢄꢃ푓푒푟ꢄ표푟 à 푙ꢄꢃℎ푎 ꢄ. É ꢄ푔푢푎푙 푎 푎. 푀푎ꢄ푠 ꢄ. 퐼ꢃ푐푟푒푚푒ꢃ푡표∆푥 = ^√⁵⁻¹, 푥_푖=

2푛

푎 + ꢄ∆푥 = ^√⁵⁻¹ꢄℎ 푥_푖= 1 − ^√⁵⁻¹ꢄ = 1 − ^√⁵⁻¹ꢄ

( )

2푛

2

푛

5 − 1

3 − 5

2ꢃ²

5 − 1

√

ꢄ²푀푎ꢄú푠푐푢푙푎퐵₁= lim ∑ (1 −

ꢄ) .

( )

푔 푥_푖= (

ꢄ) =

푛→∞

푖=1

2ꢃ

√5 − 1

3 − √5

=

−

2

4

3 5 − 5

√

퐵₁=

4

1

(

)(

)

ꢃ ꢃ + 1 2ꢃ + 1

6

푛

5 − 1

4ꢃ²

5 − 2

√

퐵₂= lim [∑

푛→∞

− ∑

ꢄ] =

2ꢃ

3

푖=1

3 5 − 5

5 − 2

9 5 − 15 − 4 5 + 8

√

퐵 = 퐵₁− 퐵₂=

−

=

4

3

12

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퐵 = 퐵₁− 퐵₂= ^{5 5−7}푢²(푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎).

√

12

Pelo processo de integração, uma vez que se pretende confirmar o resultado obtido

vem:

5−1

2

√

5−1

2

√

푥²

푥³

2

(

)

퐵 = ∫

1 − 푥 − 푥

푑푥 = [(푥 −

−

)]

2

3

0

5−1

√

2

5 − 1

5 − 2 5 + 1

5 5 − 15 + 3 5 − 1

√

2

(

)

퐵 = ∫

1 − 푥 − 푥

푑푥 =

−

2

8

24

0

5−1

√

2

5 − 1

3 − 5

5 − 2

√

2

(

)

퐵 = ∫

1 − 푥 − 푥

푑푥 =

−

2

4

3

0

5−1

√

2

6 5 − 6 − 9 + 3 5 − 4 5 + 8

√

2

(

)

퐵 = ∫

1 − 푥 − 푥

푑푥 =

12

0

푀푎ꢄú푠푐푢푙푎 퐵 é ꢄ푔푢푎푙 푎 ꢄꢃ푡푒푔푟푎푙 푑푒 0 푎 ꢃ푢푚푒푟푎푑표푟 , 푟푎ꢄ푧 푞푢푎푑푟푎푑푎 푑푒 5 푚푒ꢃ표푠 1 푓ꢄ푚 푑푒 ꢃ푢푚푒푟푎푑표

5−1

2

√

푑푥 = ^{5 5−7}푢²(unidades de área).

√

2

(

)

1 − 푥 − 푥

∫

0

12

Portanto, tendo em conta a fragmentação que havia sido feita, uma vez que se realizou

somas parciais de Riemann, agora recorre-se ao intervalo inicial para garantir a soma

total e daí vem:

푆 = 퐴 + 퐵 = ^{5 5−7}푢²+ ^{5 5−7}푢²= ^{5 5−7}푢²(푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎)

√

12

6

Pela integração vem:

5−1

2

√

0

5 5 − 7

√

2

(

)

(

)

퐴 + 퐵 = ∫

푥 + 1 − 푥

푑푥 + ∫

1 − 푥 − 푥

푑푥 = 2

푢²

1− 5

2

√

12

0

퐴 + 퐵 = ^{5 5−7}푢²(푢ꢃꢄ푑푎푑푒푠 푑푒 á푟푒푎).

√

6

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Considerações finais

No nosso estudo, constatamos que os conteúdos sobre as Somas de Riemann não têm

sido ministrados por não constarem dos conteúdos programáticos das cadeiras de

Análise Matemática I e II. Esta carência agrava as dificuldades dos estudantes dos 1ºs

anos dos cursos de Ensino de; Matemática, Física, Informática-Educativa e de

Química, pois que os mesmos revelam situações de nunca terem abordado em

unidades curriculares afins.

O tratamento das somas de Riemann pressupõe a abordagem geral de séries,

fundamentais na obtenção do termo geral da soma de elementos de uma determinada

sucessão.

A abordagem de séries implica o domínio sobre várias áreas: sucessões; aritmética,

geométrica e geométrico-aritmética, entre outras.

A abordagem de séries manifestou, principalmente, a soma de termos aritméticos,

geométricos, a soma de quadrados, a soma de cubos e a soma de potências de expoente

4, bem como os seus respectivos termos gerais das somas de n primeiros termos, que

consideramos como parte fundamental para o asseguramento dos conhecimentos

necessários para o desenvolvimento das competências dos futuros professores de

ciências exactas.

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Referências Bibliogríficas

Demidovitch, B. (1977) Problemas e Exercícios de Análise Matemática - Editora Escolar,

tradução para português: Escolar Editora, editora MIR

Cardoso, D., M., Szymański, J., Rostami, M. (2009) Matemática Discreta: Combinatória,

Teoria dos Grafos, Algoritmos, Editora Escolar

Flemming, D.M. & Gonçalves, M.B. (2012) Cálculo A, funções, limite, derivação e

integração (6ª ed.), REVISTA E AMPLIADA.

Leithold, L. (1994) O Cálculo com Geometria Analítica. (3ª ed.) -Volume1. Haarbra.

Domingos, J. T. J. (2019) Apontamentos de Didáctica da Matemática, 2º Ano de

Matemática, ISCED/HUILA-LUBANGO, caixa Postal:230.

Nolasco, B. B. S. (2019). Apontamentos de Matemática II. 2º Ano de Física e Química,

ISCED/HUILA-LUBANGO, caixa Postal:230.

Recebido:20/08/2020

Aceite:24/06/2026

Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License . Ao

submeter o manuscrito o autor está ciente de que os direitos de autor passam

para a REVISTA CIENTÍFICA DO ISCED - Huíla e para o Instituto

Superior de Ciências de Educação da Huíla, que mantém com fundos próprios

a Revista.

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