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Avaliação Formativa da Comunicação Matemática: Uma Análise dos
Manuais de Matemática da 10.ª Classe do Ensino Geral em Angola
Formative evaluation of Mathematics communication: An analysis of Mathematics
Manuals for the 10th grade of General Education in Angola
Evaluación formativa de la comunicación matemática: un análisis de los Manuales
de Matemáticas del décimo grado de Educación General en Angola
Kengana Sebastião André João
1
Escola Superior Pedagógica do Bengo, Angola
Kengana1980@hotmail.com
David Mafuani Distinto
2
Instituto Superior de Ciências da Educação de Luanda, Angola
davidistinto75@gmail.com
Resumo
O presente estudo teve como objectivo aferir até
que ponto os exercícios práticos propostos no
Manual da Disciplina de Matemática da 10.ª
Classe do Ensino Geral ajudam o professor a
promover estratégias da avaliação formativa
que facilitem o aluno a consolidar a capacidade
de comunicação matemática propriamente dita,
argumentar e justificar procedimentos ou ideias
matemáticas. Atendendo à forma de abordagem
do problema, realizou-se uma investigação de
enfoque qualitativo. Para alcançe do objectivo
referido e do ponto de vista dos procedimentos
técnicos optou-se pela investigação
bibliográfica. Para o efeito, foi seleccionado de
forma intencional o tema sobre radicais, por ser
a primeira unidade temática do programa de
ensino existente nos dois manuais de
matemática da 10.ª classe de autoria de Maria
Augusta Ferreira Neves, Maquiesse Pembele e
José Eduardo Deibona, aprovados pelo
Ministério da Educação de Angola. Dos
resultados deste estudo, verificou-se que do
total de 60 exercícios com 265 alíneas
propostas, somente um destes ajuda o professor
promover estratégias da avaliação formativa
que facilitam o aluno a consolidar a capacidade
1
Doutor. Professor Auxiliar. Chefe do Departamento de Documentação e Informação Científica.
2
Licenciado. Professor. Estudante do Mestrado em Ensino de Matemática no ISCED Luanda.
de argumentar e justificar procedimentos ou
ideias matemáticas de forma explícita. Neste
sentido, foi proposta uma mudança na
enunciação das questões de alguns exercícios
existentes nos manuais, de modo a dar-se ao
professor a possibilidade de promover a
estratégia e o aluno a desenvolver esta
capacidade.
Palavras-chave: avaliação formativa,
comunicação matemática, estratégias.
Abstract
The present study was aimed at assessing the
extent to which practical exercises proposed in
Mathematic student’s manual of 10th grade in
Angolan teaching context may help teachers
promote Formative Evaluation Strategies that
facilitate students consolidate mathematical
communication skills in its proper sense of the
Word, argue and justify mathematical
procedures or ideas. Taking into account the
way of approaching the problem, a qualitative
research was carried out. In order to achieve the
goal early cited above and from the point of view
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6
9
of technical procedures, a bibliographical
investigation was applied. For he purpose of
this study, the theme of radicals was
intentionally selected, knowing that it is the first
theme in the programmes of mathematic
student’s manuals of 10th grade by the Angolan
authors Maria Augusta Ferreira Neves,
Maquiesse Pembele and José Eduardo Deibona,
approved by the Ministry of Education of
Angola. Considering the outcomes of this study,
it was found that of the total sixty five exercises
with two hundred and sixty five points
suggested in this theme “radicals”, in both
student’s manuals, only one of them help
teachers promote Formative Evaluation
Strategies that explicitly facilitate students
consolidate the abilities to argue and 1ustify
procedures or mathematical ideas. In this
sense, it was suggested a change to the wording
of the questions for some exercise present in the
manuals, thus giving to the teachers a
possibility or a chance of promoting the strategy
(Formative Evaluation) and to the ability
(Mathematical Communication Skills).
Keywords: formative evaluation,
mathematical communication, and strategies.
Resumen
El presente estudio tuvo como objectivo evaluar
en qué medida los ejercicios prácticos
propuestos en el Manual del Alumno angoleño
de décimo grado ayudan al docente a promover
estrategias de evaluación formativa que
faciliten al alumno consolidar la capacidad de
comunicación matemática, propiamente dicho,
argumentar y justificar procedimientos o ideas
matemáticas. Teniendo en cuenta la forma de
abordar el problema, se realizó una
investigación cualitativa. Para lograr el objetivo
propuesto y desde el punto de vista de los
procedimientos técnicos, se optó por la
investigación bibliográfica. Para ello, se
seleccionó intencionalmente el tema de los
radicales por ser el primero del programa
existente en los dos manuales de Matemáticas
de décimo grado, de los autores Maria Augusta
Ferreira Neves, Maquiesse Pembele y José
Eduardo Deibona, aprobado por el Ministerio
de Educación de Angola. Los resultados de este
estudio revelaron que del total de los 60
ejercicios con 265 puntos propuestos en esta
temática, en los dos manuales, solo uno de estos
ayuda al docente a promover estrategias de
evaluación formativa que le faciliten al alumno
consolidar la capacidad de argumentar y
justificar procedimientos o ideas matemáticas
explícitamente. En este sentido, se propuso
cambiar la redacción de las preguntas de
algunos ejercicios en los manuales, dando así al
docente la posibilidad de promover esta
estrategia y al alumno a desarrollar esta
habilidad.
Palabras-chave: evaluación formativa;
comunicación matemática; estrategias.
INTRODUÇÃO
O presente visa abordar sobre até que
ponto os exercícios práticos propostos no
Manual da Disciplina de Matemática da
10.ª classe do Ensino Geral em Angola
ajudam o professor a promover
estratégias da avaliação formativa que
facilitem o aluno a consolidar a
capacidade de comunicação matemática
propriamente dita, argumentar e
justificar procedimentos ou ideias
matemáticas.
Falar da avaliação das aprendizagens é
tratar de um tema intrínseco ao processo
de ensino aprendizagem. Inúmeras
entidades ou instituições têm tratado esta
temática, como é o caso do National
Council of Teachers of Mathematics
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
(NCTM) dos Estados Unidos da América,
que nas suas publicações tem dado
também ênfase a temas ligados à
avaliação das aprendizagens em
matemática (NCTM, 1989; 1991; 2014).
Com intuito de melhorar os processos
avaliativos dos professores de matemática
do Ensino geral de Portugal, a Associação
de Professores de Matemática (APM)
desse vem traduzindo as publicações ora
referenciadas na versão portuguesa
(APM, 1998; 2017).
Educadores matemáticos brasileiros
também se têm engajado quando o
assunto é avaliação das aprendizagens em
matemática. Neste sentido, Pavanello e
Nogueira (2006) analisam o percurso a
ser observado para a avaliação nesta área
do conhecimento, descortinando distintas
maneiras de se pensar a avaliação em
matemática.
Em Angola, João (2019) tem
desenvolvido estudos e acções de
formação contínua com professores de
matemática numa perspectiva de
avaliação formativa, com intuito de
melhorar as suas práticas avaliativas com
consequente impacto na melhoria das
aprendizagens dos alunos.
Serra (2005), por exemplo, realça de
forma crítica sobre como os sistemas de
avaliação privilegiam mais a reprodução
de conteúdos por meio da prova escrita ou
oral em detrimento da avaliação
formativa.
Fumero (2008) apresenta um sistema de
avaliação das aprendizagens para a
matemática no ensino superior no curso
de engenharia, baseada na abordagem
histórico-cultural e nas normas do
NCTM.
João, Olivera e Serra (2016)
apresentaram um sistema de avaliação
das aprendizagens para a disciplina de
Análise Matemática no contexto
angolano, o estudo foi justificado por
causa de variadíssimas práticas
avaliativas tradicionais nos professores
daquela disciplina no contexto angolano.
João e Olivera (2020) propõem um
modelo teórico-metodológico para a
formação pedagógica do professor
universitário na prática da avaliação
formativa que permita evitar as
deficiências encontradas para os
professores no contexto angolano.
A avaliação formativa na prática
contextualizada no processo de ensino e
aprendizagem da matemática pode ser
feita recorrendo a diversas estratégias,
dentre elas o feedback, mas só quando
respeitados os seguintes aspectos:
Apontar pistas de acção futura, de
forma que a partir dela o aluno saiba
como prosseguir;
Incentivar o aluno a reanalisar a sua
resposta;
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
Não incluir a correcção do erro, no
sentido de dar ao próprio a
possibilidade de ser ele mesmo a
identificá-lo e a alterá-lo de forma a
permitir que aconteça uma
aprendizagem mais duradoura;
Identificar o que já está bem feito, no
sentido não só de dar autoconfiança,
como igualmente permitir que aquele
saber seja conscientemente
reconhecido (Santos,2003, p.19, citado
em Santos, 2020, p.6)
As afirmações expostas no parágrafo
anterior, também aparecem em livros
didácticos, como é o caso do programa de
matemática da 10.ª Classe (Moderna,
2013, p.31) que destaca o seguinte: “no
ensino, a avaliação assume carácter
eminentemente formativo, devendo
favorecer a progressão pessoal e a
autonomia como parte integrante do
processo ensino aprendizagem,
permitindo ao aluno implicar-se no
próprio processo e ao (a) professor(a)
controlar melhor a sua prática lectiva.”
Reflexões e problematizações sobre
a avaliação
O conceito de Avaliação, está longe de ser
consensual se tivermos em conta que foi
sempre vista ao longo da sua história sob
diferentes olhares de acordo com os
objectivos e finalidades que as sociedades
vão definindo ao longo da sua evolução.
Nesta perspectiva apontam-se cinco
abordagens relacionadas com a evolução
da avaliação:
1. Abordagem da consciencialização
(século XIX) – envolve um sistema
de testagem com o objectivo de
melhorar os padrões educativos.
Ocorreu predominantemente nos
Estados Unidos e, depois,
estendeu-se para Europa.
2. Abordagem psicométrica (1900 –
1930) – Avaliação normativa,
classificatória e estandardizada que
tem influência até os dias atuais.
3. Abordagem da congruência (1930 –
1950) – definida por Tyler como
uma avaliação de comparação entre
resultados previstos e os resultados
obtidos. Durante este período a
avaliação estende-se ao processo de
ensino e aprendizagem, não mais se
limitando a instrumentos de
medidas industriais.
4. Abordagem da expansão (1958 –
1972) – período em que surge a
dicotomia entre a avaliação
somativa, medida por exame
(docimologia), e a formativa,
avaliação que passa a destacar as
escolas, professores, alunos,
conteúdos, e as metodologias como
foco central, deslocando o olhar do
carácter meritocrático para o
sociológico.
5. Abordagem da profissionalização –
na qual, a partir de 1972, a avaliação
passa a ter um carácter sistemático
com etapas bem definidas:
a) Fase de identificação (avaliação do
contexto)
b) Fase para prever os recursos, as
limitações, os custos e os prováveis
benefícios (avaliação de entrada ou
inicial)
c) Fase de acompanhamento do
desenvolvimento (avaliação de
processo)
d) Fase em que o resultado é
apresentado. Avaliação do produto
final, ou seja, verificação dos
objectivos alcançados (Oliveira &
Singer, 2014, p.158).
Estas reflexões, para além de irem na
mesma direcção dos autores Oliveira e
Singer, (2014) relativamente à evolução
da avaliação das aprendizagens,
demonstra que,
na prática pedagógica da matemática a
avaliação tem, tradicionalmente, se
centrado nos conhecimentos
específicos e na contagem de erros. É
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
uma avaliação somativa que não só
selecciona estudantes, mas os compara
entre si e os destina a um determinado
lugar numérico em função das notas
obtidas (Pavanello & Nogueira,2006,
p.36-37).
Neste sentido, a posição destes últimos
autores referenciados, reforça a reflexão
do autor do presente estudo,
relativamente às práticas avaliativas
dominantes no contexto angolano,
chamando assim a uma reflexão conjunta,
para uma mudança urgente das mesmas,
ou seja, urge a necessidade de que as
práticas avaliativas dos professores
acompanhem as transformações
produzidas pelas pesquisas e estudos
científicos sobre avaliação.
A necessidade da mudança de práticas
avaliativas é muito importante pois a
adopção destas facilita o trabalho do
professor segundo Arias (2013, p. 3):
Obter mediante a aplicação de
instrumentos tecnicamente
elaborados, informação válida e
confiável acerca da aprendizagem;
Conhecer os ganhos alcançados pelos
estudantes;
Identificar os aspectos que se devem
melhorar durante o processo de
mediação pedagógica;
Integrar a todos no processo de
aprendizagem, interactuando docentes
e estudantes;
Reapresentar ou orientar o processo de
ensino-aprendizagem segundo a
informação recolhida;
Adaptar os processos didácticos aos
progressos e necessidades observadas
nos estudantes e lhes oferecer um
oportuno acompanhamento;
Implementar o processo de auto e co-
avaliação, orientados à reflexão sobre o
seu próprio desempenho;
Reflectir acerca do rendimento de cada
estudante.
O expresso no parágrafo anterior, reforça
a necessidade imperiosa de uma viragem
das práticas avaliativas actuais, ou seja,
vigentes no contexto angolano, onde o
professor tem a prova escrita como única
fonte de obtenção de informação sobre a
aprendizagem, muitas vezes elaboradas
de forma rápida e com carácter
reprodutivo. Por sua vez, adoptando as
práticas avaliativas formativas, o
professor deverá aprimorar a técnica de
elaboração não de um só instrumento,
mas de vários instrumentos para um
único fim.
Ainda nesta mesma direcção, o professor
de matemática terá a oportunidade de
elaborar exercícios de consolidação de
forma mais segura, sendo sempre em
função da necessidade real de cada aluno
ou colectivo de alunos, prestando assim
uma assistência individual dentro do
colectivo, sabendo que o conteúdo a ser
oferecido resulta de uma recolha de
evidências do meio natural e não de
propostas emanadas por um conselho de
coordenadores de disciplinas.
Por outra parte, esta necessidade de
mudança pode de certa forma colmatar
um vazio que se verifica no processo de
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
ensino aprendizagem da matemática no
contexto angolano. Esse vazio tem a ver
com a continuidade das actividades
orientadas pelo professor ao aluno fora da
sala de aula, que promovam a reflexão do
seu desempenho.
A necessidade de mudança referida nos
parágrafos anteriores não é essencial
somente para o professor, mas sim
também para o aluno, pois permite ao
aluno, segundo Arias (2013, p. 4):
Levar a cabo processos
metacognitivos, com o propósito de
que tome consciência dos seus pontos
fortes e fracos;
Solicitar o acompanhamento do
docente para alcançar o nível de
ganhos esperados;
Identificar estratégias que facilitem o
alcance das metas propostas,
entendendo estratégias os processos
de tomadas de decisões (conscientes e
intencionais) nos quais ele elege e
recupera, de maneira coordenada, os
conhecimentos de que necessita para
cumprir com uma determinada
demanda ou objectivo, dependendo
das características da situação
educativa em que se produz a acção;
Levar a cabo processos de interacção
entre seus companheiros e o docente.
Parte-se do princípio de que muitas vezes
o estudante estava preocupado apenas
com a nota e, portanto, a mudança de
paradigma que se propõe poderá fazer
com que o mesmo se preocupe também
com o desenvolvimento do seu empenho,
isto é, descobrir os seus avanços, recuos e
até as deficiências que propiciam estes
recuos. Para efeitos, os estudantes devem
aprender a comunicarem-se
matematicamente, isto é, “partilharem
ideias e clarificarem compreensões, para
elaborarem argumentos convincentes em
relação ao como e ao porquê do
funcionamento das coisas, para
desenvolverem uma linguagem para
exprimirem as ideias matemáticas e para
aprenderem a ver as coisas de outras
perspectivas” (NCTM, 1991; 2000, citado
em NCTM,2017)
“Entende-se comunicação matemática
nas vertentes oral e escrita como um
domínio progressivo da linguagem
simbólica da matemática”
(Serrazina,2018, p.15). Partindo deste
princípio, os alunos poderiam iniciar esse
aprendizado, desde muito cedo, a parti
dos dois últimos anos do ensino primário,
desenvolvendo a capacidade de
“Exprimir, oralmente e por escrito, ideias
matemáticas, com precisão e rigor, para
justificar raciocínios, procedimentos e
conclusões, recorrendo ao vocabulário e
linguagem próprios da matemática”
(Serrazina, 2018, p.15).
Para facilitar o aluno a justificar seus
raciocínios, procedimentos e conclusões,
quando realiza uma tarefa matemática,
conforme sugere Serrazina (2018), é
preciso que o enunciado esteja bem
formulado ou ainda que o professor
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
solicite de forma obrigatória essa
justificação.
É evidente que a comunicação escrita da
matemática é indispensável na sala de
aula. Neste sentido, o professor de
matemática, deve dispor de um
instrumento de análise composta por
quatro dimensões como propõem Pires,
Costa e Leite (2018):
(i) Clareza, relacionada com o uso
do vocabulário e formas de
representação seguidas pelo
aluno quando expressa as sua
ideias;
(ii) Fundamentação, relacionada
com a maneira como o aluno
defende ou justifica os seus
raciocínios ou resoluções;
(iii) A lógica, relacionada com a
coerência e a ligação entre ideias
expressas ou processos
desenvolvidos;
(iv) A profundidade, relacionada
com o domínio revelado pelo
aluno quando se refere aos
tópicos matemáticos envolvidos
na situação (p.29).
O presente estudo, dá maior ênfase a
dimensão da fundamentação, por
entender que sempre que o aluno estiver
a fundamentar, deve fazê-lo como clareza,
lógica e uma certa profundidade, pelo que
insiste na necessidade do enunciado que
apresenta a tarefa, exija de antemão que o
aluno fundamente a resolução. Para o
efeito, “os alunos precisam de
oportunidades para desenvolver
pensamentos e ideias matemáticas em
colaboração com os outros, e, juntamente
com outros, explicitar justificações e
argumentos” (Guerreiro & Martins, 2018,
p. 51).
Para que o anteriormente dito se torne
uma realidade, é preciso que os currículos
apontem nesta direcção, por meio de
programas e livros para o professor assim
como para o aluno, ou ainda o professor
deve ser criativo nesta perspectiva,
apresentando ou propondo fichas de
actividades durante ou após a aula.
No Currículo de Matemática do Ensino
Fundamental- Ciclo II e Ensino Médio do
Estado de São Paulo, Brasil, já se pode
evidenciar o expresso no parágrafo
anterior pois os conteúdos programáticos,
visam desenvolver entre várias, as
seguintes capacidades:
Capacidade de expressão, que pode ser
avaliada por meio da produção de
registos, de relatórios, de trabalhos
orais e/ou escritos etc.;
Capacidade de compreensão, de
elaboração de resumos, de sínteses, de
mapas, da explicação de algoritmos
etc.;
Capacidade de argumentação, de
construção de análises, justificativas
de procedimentos, demonstrações etc.
(Machado, et al., 2011, p.54).
Nesta perspectiva, chama-se a
responsabilidade do professor de
matemática naquelas paragens no sentido
de traduzir estas ideias do currículo na
sala de aula. Isto é, fazer com que os
alunos sejam capazes no final de cada
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54
João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
conteúdo de apresentar de forma
inequívoca as capacidades ora descritas.
Os programas que orientam o Ensino da
Matemática em Angola não estão alheios
a situação descrita no currículo ora
referenciado, nesta senda, o Programa de
matemática da 10.ª Classe do 2º Ciclo do
Ensino Geral (2013, p. 31) assinala que:
A avaliação da capacidade de
comunicação em matemática faz-se
observando o modo como o(a)
aluno(a) descreve processos, enuncia
propriedades, expressa conceitos,
formula problemas, compreende e
avalia ideias expressas em matemática,
devendo o(a) professor (a) estar
particularmente atento(a) ao
desenvolvimento da clareza, precisão e
adequação da linguagem utilizada.
Os programas de matemática de Angola
dão um passo em frente em relação à
proposta de avaliar a comunicação
matemática dos alunos com uma
abordagem formativa, faltando nesse
sentido os livros e os professores
seguirem essa direcção. Assim , os
estudiosos assim como escritores nesta
área devem acelerar propostas concretas
a fim de auxiliarem os professores a
compatibilizarem-se com os referidos
programas.
Para melhor elucidação o anteriormente
expresso, resulta necessário traçar
estratégias de avaliação formativa que
facilite o aprofundamento da capacidade
da argumentação da comunicação
matemática por parte do aluno, e é neste
sentido que vai dirigido o presente estudo.
Julga-se interessante partir do conceito
de estratégia de forma geral, apesar da
diversidade do mesmo no ponto de vista
de diferentes autores. Assim como não é
objectivo deste estudo a análise da
diversidade destes conceitos, apenas
cingimo-nos no propósito já enunciado.
Nesta perspectiva a “estratégia é um
plano onde se pensa no futuro, nos
objectivos, nas metas a serem atingidas,
na direcção, caminho e curso de acções,
alocando adequadamente os recursos
utilizados” (Milan & De Toni, 2008,
citado em Leonardo, Emerson & Rozélia,
2015, p.83). Um conceito interessante,
que se enquadra em qualquer área da
esfera ou estrato social, pois qualquer
pessoa traça objectivos em diferentes
momentos da vida, para tal em algum
momento deve se tomar decisões que
podem viabilizar ou inviabilizar os
objectivos preconizados. Para que as
decisões a tomar ou a serem tomadas
sejam propícias para a concretização dos
objectivos, devem ser gizadas acções bem
estruturadas.
Face a essa situação, o professor de
Matemática em todos momentos que
pretende realizar a sua aula, a primeira
preocupação que procura responder tem
sido sempre o que que os meus alunos
devem saber fazer depois da aula.
Revista Angolana de Extensão Universitária, v.2, n.3, Julho-Dezembro, p. 48-75, 2020
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
Para que a resposta da pergunta seja
satisfatória no final da aula ou na sua
continuidade fora da sala, o professor
deve traçar um conjunto de acções que
irão ajudar o aluno a tomar decisões que
lhe levarão a atingir os objectivos ora
propostos.
Na actualidade, a aferição da
concretização da resposta com êxito ou
sem êxito, relativamente à pergunta
formulada pelo professor, durante a
preparação da sua aula e no início da sua
leccionação, não pode ser tida em conta
somente no fim da aula, mas no seu
percurso também. Neste sentido o
professor deve traçar estratégias de
avaliação formativa no processo de ensino
e aprendizagem da Matemática.
Assim, a literatura aponta numerosas
estratégias de avaliação formativa. O
presente estudo apoia-se em duas
estratégias que no nosso entender
propiciam o alcance dos objectivos da
capacidade de argumentação, de
construção de análises, justificativas de
procedimentos por parte do aluno. São
elas: “Escreve, comenta e avança (Agencia
de calidad de la educación, 2006, p. 17)” e
a estratégia “Envolver os alunos na auto-
reflexão e permitir que monitorem e
compartilhem a sua aprendizagem
(Medina, García, Martínez, & Abundez,
2011, p. 79)” De acordo com os objectivos
apresentados na introdução deste estudo,
trataremos apenas da na segunda
estratégia.
Metodologia
A investigação realizou-se no contexto de
ensino-aprendizagem em Angola. Trata-
se de uma investigação “bibliográfica”
(Kripka, Scheller & Bonotto,2015. p.244).
Tendo em conta a natureza dos livros em
estudo, pretendeu-se em primeiro lugar
descrever algumas insuficiências
existentes nos enunciados dos exercícios
concebidos baseando-se na promoção da
capacidade do aluno argumentar e
justificar ideias matemáticas de forma
explícita. Num segundo momento a partir
dessas insuficiências, apresentou-se uma
ficha de trabalho com enunciados dos
exercícios reformulados a partir dos
exercícios pré-existentes no Manual como
proposta de solução alternativa para
concretizar a promoção desta capacidade,
sendo muito importante na comunicação
matemática.
Método e procedimentos
Realizou-se uma pesquisa bibliográfica
com recurso ao levantamento
bibliográfico preliminar; busca das
fontes; leitura do material; organização
lógica do assunto; redação do texto”
(Prodanov & Freitas,2013, p.55).
Revista Angolana de Extensão Universitária, v.2, n.3, Julho-Dezembro, p. 48-75, 2020
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
No levantamento bibliográfico preliminar
e busca das fontes usaram-se os seguintes
livros: Matemática 10.ªclasse (2005),
Matemática 10ªclasse (2015) e
Matemática 10 (2010). Todos eles
utilizados habitualmente pelos
professores e aprovados pelo Ministério
da educação de Angola.
No momento da leitura do material,
constatou-se que o livro de Matemática da
10.ª Classe (2010), não continha um
capítulo dedicado exclusivamente ao
conteúdo relacionado aos radicais, neste
sentido, por isso optou-se pela exclusão
do mesmo.
Nesta direcção relativamente a
organização lógica do assunto, foram
recolhidos, seleccionados e quantificados
os exercícios propostos para o aluno
estudar e aprofundar o conteúdo sobre
radicais. Posteriormente, foram
analisados os tipos de perguntas
existentes nos exercícios propostos nos
manuais que propiciam a promoção de
estratégias de avaliação formativa que
facilitam consolidação da capacidade de
comunicação matemática dos alunos,
com realce na argumentação e justificação
de procedimentos ou ideias matemáticas
no conteúdo em causa.
Em função da análise feita aos exercícios,
foi apresentado uma proposta de
mudança do enunciado das questões de
alguns exercícios existentes nos livros
partindo das insuficiências detectadas,
afim destes propiciarem a aplicação de
estratégias de avaliação formativa que
ajudariam o aluno na consolidação da
capacidade de comunicação matemática,
assim como na apresentação de
conclusões fruto dessas análises.
Principais resultados e discussão
Na revisão do livro de Matemática da
10.ªclasse (2005) e matemática 10.ªclasse
(2015), constatou-se a existência de um
total de 60 exercícios com 265 alíneas
propostos nesse tema, agrupados da
seguinte forma:
Tabela n.º 1: Quantidade e natureza de
exercícios sobre radicais
QUANTIDADE
OBJECTIVO
NATUREZA DO
ENUNCIADO
7
Calcular
Calcular radicais por
meio da operação de
adição algébrica.
4
Calcular
Calcular radicais por
meio da operação de
multiplicação.
2
Calcular
Calcular radicais por
meio da operação de
divisão.
2
Classificar
Classificar algumas
proposições em
verdadeiros ou falsos.
2
Determinar
Determinar as raízes
das expressões com
radicais.
8
Escrever
Escrever as potências
sob forma de radical
1
Determinar
e
Justificar
Determinar cada uma
das raízes e justificar
as suas respostas
7
Escrever
Escrever os radicais
sob forma de potência
5
Simplificar
Simplificar os radicais
3
Simplificar
e
Calcular
Calcular e simplificar
os radicais
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
2
Racionalizar
denominador
Racionalizar o
denominador das
fracções
17
Resolver
Natureza diversa
Fonte: Elaboração própria.
Dos exercícios apresentados na tabela n.º
1, existe apenas um onde se pede que o
aluno determine cada uma das raízes e
justifique as suas respostas. Este
procedimento propicia a promoção de
estratégias de avaliação formativa que
facilitam o aluno consolidar a capacidade
de comunicação matemática, com realce
em argumentar e justificar procedimentos
ou ideias matemáticas no conteúdo em
causa.
Este exercício orienta que o aluno
“determine cada uma das seguintes
raízes, justificando as suas respostas
(Pembele & Deibona, 2015, p. 12).” a)
; b)
;
. Isto é:
porque
= 400;
=
, porque
;
= 2 a; porque
=
.
A Ibrigação do aluno em realizar ou
apresentar as justificações acima
descritas, envolve-o numa auto-reflexão e
permite-lhe ao mesmo tempo que
monitore e compartilhe a sua
aprendizagem com o professor. De modo
geral, o aluno seria ajudado a consolidar a
capacidade de comunicação matemática,
com realce em argumentar e justificar
procedimentos ou ideias matemáticas.
Nesta forma de trabalho, estaria de forma
explícita a estratégia de avaliação
formativa.
Vejamos o exercício: classifique de
verdadeira (v) ou falsa (f) cada uma das
seguintes afirmações (Pembele &
Deibona, 2015, p. 12):
1.1
1.2
.
Este exercício na forma como é
apresentado, coloca-se o aluno numa
comunicação restrita, ou seja, terá
necessariamente que assinalar somente
com verdadeira (v) ou falsa (f), isto é, abre
a possibilidade de no caso que o aluno não
tenha certeza da resposta correcta, opte
pelo azar. Por outra, mesmo que acerte ou
não, o professor não terá a possibilidade
de solicitar ao aluno que esclareça o
porquê e como chegou a esse resultado.
Nesta direcção, o aluno perde a
oportunidade de expor as suas ideias
matemáticas, consolidar o anteriormente
aprendido, isto é, justificar ou
argumentar a opção feita a partir da
definição da raiz quadrada de a e não da
definição da raiz de índice n de a, ou seja,
“assim
”
(Pembele & Deibona, 2015, p.11). De
outro modo, se o professor ajudasse o
Revista Angolana de Extensão Universitária, v.2, n.3, Julho-Dezembro, p. 48-75, 2020
70
João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
aluno a dizer e escrever a via percorrida
para assinalar a veracidade ou a falsidade,
ele teria que argumentar ou justificar que:
é verdadeira porque
=
= 2;
é falsa porque
=
=
, logo
.
O aluno na segunda afirmação, se não
estiver atento pode considerar verdadeiro
se apoiar-se na definição da raiz de índice
n de a. Infelizmente estaria errado por
tratar-se da raiz quadrada, mas uma vez
que o professor não formulou a pergunta
de modo que o aluno explique os passos
que lhe conduziram a afirmação,
dificilmente o aluno irá partilhar ao
professor de forma clara o que entendeu
sobre esta matéria.A forma mais eficaz de
sair desse enredo, seria por meio de uma
estratégia de avaliação formativa, que
envolve o aluno na auto-reflexão e lhe
permite monitorar e compartilhar a sua
aprendizagem com o professor de forma
mais eficaz. A concretização dessa
estratégia depende de certa medida na
forma como o professor irá elaborar o
enunciado que envolve o exercício.
Na mesma direcção o exercício em que se
solicita ao aluno que simplifique (Neves,
2005, p26):
+
-
+
. A forma como se
apresenta o enunciado envolve o aluno na
auto-reflexão, mas não o obriga, no bom
sentido, a partilhar toda sua
aprendizagem com o professor, assim
como não o ajuda a monitorar de forma
profunda e eficaz a sua aprendizagem,
pois é-lhe incumbido o dever de
simplificar a expressão acima.
Simplificar seria tornar a expressão
menos complicada, neste caso exigiria o
aluno uma auto-reflexão. Mas como
saberia se a sua reflexão está sendo bem-
sucedida ou não? Esta pergunta só é
possível ser respondida se o aluno
conseguir monitorar ou expressar as suas
ideias matemáticas passo a passo.
Acontece que como ele não tem este dever
de apresentar todos passos ao professor,
por um ou outro motivo pessoal poderá
omitir alguns passos, ou seja, poderia
escrever directamente
+
-
+
+
+6
, em vez de
+
-
+
+
+
+6
, e em caso de um erro
da sua parte, dificilmente poderá
conseguir detectá-lo. Portanto,
dificilmente o professor irá conseguir
retroalimentar o aluno.
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71
João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
Por outro lado, vê-se que na primeira
tentativa de simplificar a expressão
anteriormente dada ao aluno sem o
compromisso de partilhar ou justificar ao
professor como expressa as suas ideias
matemáticas, resolve-se num único passo.
Enquanto com intuito de compartilhar a
sua aprendizagem com o professor
poderia marcar três passos, justificando
como foi realizando cada transformação
ou ainda o aparecimento de cada
expressão.
A prática pedagógica confirma que são
poucos os estudantes capazes de aplicar
ou justificar cada passo realizado numa
determinada transformação algébrica ou
de outra natureza, de modo professor
deve a partir da elaboração do enunciado,
gizar estratégias de avaliação formativa
que envolva o aluno não só na auto-
reflexão, mas na permissão de monitorar
e compartilhar a sua aprendizagem com o
professor de maneira mais eficiente.
Vários são os exercícios propostos nestes
dois manuais que podem ser aproveitados
no sentido de promoverem esta estratégia
de avaliação formativa dando assim a
maior possibilidade ao aluno de
comunicar matematicamente por meio da
justificação dos passos que vai dando
durante a resolução de uma determinada
tarefa aprofundando, assim, a capacidade
de usar a comunicação matemática, como
é o caso do exercício no qual se solicita ao
aluno que “escreva sob a forma de radical
(Neves, 2005, p. 31)”
.
Vê-se que neste exercício o aluno tem
mais de uma possibilidade de comunicar
matematicamente as suas ideias de forma
mais ampla dando, assim, a possibilidade
de justificar ou argumentar cada passo ou,
ainda, a transformação realizada, que é a
via mais desejada pelo professor, e esta
seria:
.=
=
, mas, da
forma o enunciado foi redigido, mais uma
vez o aluno não se vê nesta obrigação pelo
que também poderia usar ou expressar as
suas ideias matemáticas de um modo
mais simplificado ou seja,
.=
.
A situação anteriormente apresentada
ocorre num exercício similar, no qual
também o aluno é solicitado que “escreva
sob a forma de radical (Neves, 2005, p.
48)”
. Também aqui o aluno com
vontade de argumentar os seus passos
sem mesmo ser-lhe imposto esta
possibilidade, poderia destacar os
seguintes passos:
.=
=
=
=
=
=
. Como o autor do livro não exige a
descrição de todos passos e possivelmente
como tem sido prática o professor que
entra em contacto com esse livro para
Revista Angolana de Extensão Universitária, v.2, n.3, Julho-Dezembro, p. 48-75, 2020
72
João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
extrair exercícios ou orientar no aluno
que o faça, copia fielmente sem nenhuma
alteração, logo, o aluno pode também
escrever de seguinte modo:
.=
=
, omitindo assim alguns passos que de
certo modo não comprometeriam o
resultado final mas condicionaria a
estratégia ora comentada.
As análises até aqui realizadas, conduzem
à necessidade de propor-se a partir dos
exercícios existentes uma forma diferente
de redigir as questões para que ajude o
professor a promover estratégias da
avaliação formativa que facilitam o aluno
a consolidar a capacidade de comunicação
matemática, com realce em argumentar e
justificar procedimentos ou ideias
matemáticas.
Em concordância com as quatro
dimensões sobre comunicação
matemática proposta por Pires, Costa e
Leite (2018), com maior realce na
dimensão da fundamentação, isto é,
argumentar e justificar procedimentos ou
ideias matemáticas, segue a proposta de
reformulação dos enunciados dos
exercícios propostos nos dois livros ora
examinados:
1. Classifique de verdadeira (V) ou
falsa (F), as seguintes afirmações e
justifique a sua resposta com base
na definição de raiz quadrada de a.
a)
= 2 b)
=
2. Verifique se as seguintes
afirmações são verdadeiras (V) ou
falsas (F). Pensando na relação
resultante de radicais como
potência de expoente fraccionário,
fundamente a sua resposta.
a)
b)
=
3. Calcule e simplifique as seguintes
expressões, justificando cada
passo.
a)
-
+
b)
-
+
-7
4. Explique como se transforma num
único radical, as seguintes
expressões:
a)
b)
5. Utilize as propriedades dos
radicais para efectuar as operações
abaixo, fundamentando cada
passo.
a)
b)
6. A expressão equivalente a
é:
a)
b)
c)
fundamenta a tua resposta.
7. Esclareça passo a passo como
ocorre o processo de
racionalização do denominador até
encontrar uma expressão
irredutível, nas seguintes fracções:
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João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
a)
b)
Considerações Finais
No começo deste estudo identificou-se
que apesar de os educadores matemáticos
e o próprio programa de Matemática
proporem um acompanhamento e o
estímulo do aluno por parte do professor
no sentido de que esse desenvolve a
capacidade de expressar as suas ideias
matemáticas de forma concisa, mas a
prática contextualizada contrariava essa
orientação. Por isso foi necessário estudar
a possibilidade do uso da estratégia de
avaliação formativa para promover a
capacidade da comunicação Matemática
do aluno da 10.ª Classe no contexto
angolano.
Face à exposição feita no parágrafo
anterior não será possível ao professor
dar continuidade ao aprofundamento ou
consolidação da avaliação formativa da
capacidade do aluno em argumentar ou
justificar as ideias matemáticas, depois
das actividades na sala de aula com
auxílio do seu manual, que contém
somente um único exercício que propicia
a promoção dessa capacidade. Por
estemotivo, partindo dos mesmos
exercícios foi proposto um enunciado
alternativo que poderá ajudar a promoção
do anteriormente referido.
Embora ter-se proposto a mudança dos
enunciados de alguns exercícios
propostos nestes dois manuais, visto que
se analisou somente dois por causa da
exclusão de um dos manuais, sugere-se a
continuidade deste estudo sob diferentes
condições. Sugere-se ainda a extensão
deste mesmo estudo noutras temáticas
desta classe nas quais o professor poderia
promover também esta capacidade de
comunicação matemática nos alunos.
Finalmente, a pesquisa realizada
conduziu-nos a algumas reflexões e
posições importantes sobre a avaliação
das aprendizagens no contexto angolano:
Ainda existe muito trabalho a se fazer
para materializar a avaliação formativa,
pois embora tenha sido institucionalizada
no quadro da reforma educativa, os
professores angolanos, em geral, e de
forma particular os de ensino da
Matemática têm privilegiando a avaliação
sumativa, ou seja, através de atribuições
de notas aos alunos em função do seu
rendimento diário.
Seria prudente que o professor atribuísse
classificações quantitativas aos alunos em
função do seu rendimento diário, por
meio de uma caderneta que fosse o menos
generalista possível.
Face ao exposto no parágrafo anterior,
seria de todo desejado que as cadernetas
fossem específicas a disciplina, assim
Revista Angolana de Extensão Universitária, v.2, n.3, Julho-Dezembro, p. 48-75, 2020
74
João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
facilitaria no caso de a disciplina de
Matemática constar as capacidades que o
professor poderia avaliar no aluno
relativamente.
A desejável avaliação de formativa ainda é
uma miragem, por falta de uma formação
adequada por parte dos professores nesta
temática, associada ainda, ao trabalho
que esta dá ao professor, atendendo o
número elevado de alunos numa sala de
aula no contexto de ensino angolano.
Referências bibliográficas
Afonso, M., & Agostinho, M. (2012).
Caderneta do professor do 2º ciclo
Ensino Secundário. (3ª ed.).
Luanda, Luanda: Editora
Moderna.
Agencia de calidad de la educación,
(2016). Evaluación Formativa:
estrategias de evaluación
formativa. Chile.
Arias, R. T. (2013). La Evaluaciõn
Formativa : Dirección de
Desarrollo Curricular. Costa Rica:
Departamento de evaluación de los
aprendizajes.
Fumero, T. D. (2008). Un sistema de
evaluación del aprendizaje para la
matemática Superior en perfiles
ingenieros (Doutoramento).
Habana: Universidad de la
Habana.
Guerreiro, A., & Martins,C.(2018).
Avaliação e Comunicação: da e
para a aprendizagem.
Revista Educação e Matemática,149(150),
49-52.
João, K. S., & Olivera, I. A. (2020). La
práctica de la evaluación formativa
en el contexto angolano: hacia la
formación pedagógica del profesor
universitario. Mauritius:
Editorial Académica Española.
João, K. S. (2019). Formação contínua
dos professores de matemática.
Revista angolana de Extensão
universitária,1(1), 69-79.
João, K. S., Olivera, I. A., & Serra, J. E.
(2016). Sistema de evaluación del
aprendizaje para la asignatura
análisis matemático en el contexto
angolano . Revista Científica
Infociencia ,20(1),1-12.
Kripka, R. M. L., Scheller, M., &Bonotto,
D. L. (2015). Pesquisa documental:
considerações sobre conceitos e
características na pesquisa
qualitativa. Atas do 4º Congresso
Ibero-Americano em Investigação
Qualitativa e do 6º Simpósio
Internacional de Educação e
Comunicação. (p.243).
Revista Angolana de Extensão Universitária, v.2, n.3, Julho-Dezembro, p. 48-75, 2020
75
João, Kengana Sebastião André; Distino, David Mafuani
Universidade Tiradentes, Aracaju:
Brasil.
Leonardo, F. B., Emerson, W. M., &
Rozélia, L. (2015). Conceitos de
estratégia na visão dos estudantes
de administração. Revista Ibero-
Americana de estratégia, 75-92.
Machado, N. J., Granja, E. d., Mello, J. L.,
Moisés, R. P., Fonseca, R. F.,
Pietropaolo, R. C., et al. (2011).
Currículo do Estado de São Paulo:
Matemática e suas tecnologias. São
Paulo: Conexão editorial, Buscato
informação corporativa e Occy.
Medina, A. M., Garcia, M. A., Martinez,
M. G., & Adundez, G. M. (2011).
Evaluación de las aprendizajes en
aula. Ciudad de Mexico
National Council of Teachers of
Mathematics. (1998). Normas para
o currículo e a Avaliação em
matemática escolar. Portugal:
APM.
National Council of Teachers of
Mathematics. (2017). Princípios
para a Ação: assegurar a todos
sucesso em matemática. Portugal:
APM (Texto original publicado em
inglês em 2014).
Neves, M. A. (2005). Matemática 10ª
classe. Portugal : Porto Editora
Oliveira, C. A., & Senger, M. H. (2014).
Avaliação formativa: estamos
preparados para realizá-la?
Revista da faculdade de Ciências
Médicas de Sorocaba ,158-160.
Pavanello, R. M., & Nogueira, C. M.
(2006). Avaliação em Matemática:
algumas considerações. Estudos
em avaliação educacional, 29-40.
Pembele, M., & Deibona, J. E. (2015).
Matemática 10ª classe. Luanda:
Plural Editora.
Pires, M.V., Costa, E., & Leite, C. (2018).
Contributos para a análise da
comunicação (matemática) escrita
dos alunos. Revista Educação e
Matemática,149(150), 28-32.
Prodanov, C. C., & Freitas, E.C. (2013).
Metodologia do trabalho
científico: métodos e técnicas da
pesquisa e do trabalho académico.
(2. ed.). Novo Hamburgo: Feevale
Programa de Matemática - 10ª Classe.
(2013). Editora Moderna, S.A.
Santos, L. (2020). A avaliação pedagógica
em matemática: um desafio e uma
inevitabilidade? Revista Educação
e Matemática,158, 3-8.
Serra, J. E. (2005). Estrategia Didáctica
para el estudio de conceptos con un
proceso de formación inductivo en
la carrera licenciatura en
matemática.( tesis doctoral). Santa
Clara: Universidad Central " Marta
Abreu de las Villas.
Serrazina, L. (2018). Comunicação
matemática e aprendizagens
essenciais. Revista Educação e
Matemática,149(150), 13-16.
Licenciado sob: Creative Commons
Attribution-Non Commercial 4.0 International License. Ao
submeter o manuscrito o autor está ciente de que os direitos de
autor passam para a Revista Angolana de Extensão
Universitária.
Enviada em 02 de Outubro de 2020
Aceite em 09 de Fevereiro de 2021
